Misura del tempo

misura del tempo

la misura del tempo è cosa famigliare a tutti. Tutti avete idea di cosa siano  il secondo il minuto  l'ora il giorno  la settimana il mese l'anno il secolo.
ogni intervallo  di tempo si può misurare nel modo più opportuno talora conviene usare i giorni altre volte le ore  spesso i secondi.
Comunque tutte le misure  di tempo possono essere espresse in secondi.
Come mai questa scelta ?  Forse  il secondo è comodo perché no è molto diverso dall'intervallo di due battiti del cuore , ma la circostanza più importante  è stata tratta dalle misurazioni del movimento del sole.
Gli  astronomi  hanno calcolato con grande  precisione il tempo medio  che passa tra l'istante  esatto in cui il sole raggiunge la posizione più alta  e quello in cui ritorna nella stessa posizione.
hanno diviso  questo intervallo di tempo in 86.400 parti  e scelto una di queste parti come unità di misura per il tempo. Questa unità di misura  è stata chiamata secondo.
Il tempo è veramente prezioso  per tutto.

Quanto è lungo un minuto ?

In un minuto ci sono 60 secondi. Gli orologi che misurano anche i secondi hanno due lancette più grandi e una più sottile (quella che gira più velocemente)  che segna i secondi che passano.
Questi orologi si chiamano cronometri.

esercizi

quanti secondi ci sono in mezzo secondo ?
e in 1/4 di minuto?
come potete anche scrivere  63 secondi ? e 125 secondi?

Il tempo e le ombre

avete mai osservato la vostra ombra ? è sempre la stessa ?
Misurate in una giornata di sole la vostra ombra  ad ogni ora e vedrete riportando i risultati su un quaderno che non sarà sempre uguale
In quale ora del giorno sarà più corta ? e in quale più lunga ?
Se avete un bastone  disponetelo verticalmente  in un posto illuminato  tutto il giorno e osservate la sua ombra
Tracciate con il gesso  una line di ombra del bastone una volta gli antichi misuravano il tempo in questo modo
Ad ogni linea corrisponde un'ora.
Se poi suddividete  gli intervalli tra un'ora e l'altra  avrete mezz'ore e quarti d'ora questo strumento viene chiamata meridiana

teorema di Pitagora

teorema di Pitagora

un notevolissimo  caso di equivalenza che torva larga applicazione in tutti i rami della matematica è quello che prende il nome di teorema di Pitagora

disegnate su un cartoncino  un qualsiasi triangolo rettangolo  ABC   costruite tre quadrati sull'ipotenusa e sui cateti

da questo si deduce che

 

in ogni  triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti

 

poiché poligoni equivalenti hanno la stessa area il teorema di Pitagora si può enunciare così

 

in ogni triangolo rettangolo  l'area del quadrato costruito  sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti

 

si può affermare che

 

la misura di un cateto di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato dell'ipotenusa  ed il quadrato della misura dell'altro cateto

 



espressioni algebriche

le espressioni - algebriche

estendendo una  locuzione introdotta nell'aritmetica  si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni 

sono per esempio  espressioni algebriche :
 3 ab^2
7a - b^2

4a+ 2ab^2
_________
a+ b

una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione  le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che  le quattro  operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi  o frazionari si ottengono sempre numeri razionale

una espressione si dice intera  se fra i segni  di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria

attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato

quando  alle lettere di un'espressione algebrica  si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono   tutte le operazione indicate si ottiene come risultato  un numero relativo  che si dice valore numerico  dell'espressione algebrica per i dati  valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato

così ad esempio  se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0

-3a +2b^2- 5c

se a =-2
se b= + 1
             3
se c= 3
         4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
                       3              4                  4      36
           

le espressioni

le espressioni - algebriche

estendendo una  locuzione introdotta nell'aritmetica  si chiama espressione algebrica un insieme qualunque di numeri relativi rappresentati anche da lettere legati tra loro da segni di operazioni 

sono per esempio  espressioni algebriche :
 3 ab^2
7a - b^2

4a+ 2ab^2
_________
a+ b

una espressione algebrica si dice razionale quando le operazione da eseguirsi sulle lettere sono soltanto quelle di addizione sottrazione moltiplicazione e divisione  le espressioni qui sopra sono razionali
il nome deriva dal fatto che  le quattro  operazioni nominate si dicono appunto razionali perché si opera con esse su numeri razionali interi  o frazionari si ottengono sempre numeri razionale

una espressione si dice intera  se fra i segni  di operazione da eseguirsi sulle lettere non compare quello della divisione in caso contrario di dice frazionaria

attribuire a una lettera che compare in un'espressione algebrica un dato valore significa sostituire alla lettera un numero dato

quando  alle lettere di un'espressione algebrica  si sostituiscono dei numeri relativi e si eseguono   tutte le operazione indicate si ottiene come risultato  un numero relativo  che si dice valore numerico  dell'espressione algebrica per i dati  valori delle lettere
naturalmente si supone che per i dati valori delle lettere le operazioni indicate siano possibili altrimenti l'espressione perde di significato

così ad esempio  se l'espressione contiene dei divisori questi dovranno risultare diversi da 0

-3a +2b^2- 5c

se a =-2
se b= + 1
             3
se c= 3
         4
-3* (-2) + 2 (+1)^2 - 5( -3) = 6+ 2 + 15 = 359
                       3              4                  4      36
           

numeri relativi : proprietà dell'addizione

numeri relativi : proprietà dell'addizione

l'addizione  di più numeri relativi gode della proprietà commutativa e associativa dell'addizione aritmetica

proprietà commutativa - la somma di più numeri  relativi non cambia  comunque si muti l'ordine  degli addendi

55-7-12+8+ 16 = -12+5+8-7+16

proprietà associativa  - la somma di più numeri relativi non cambia se ad alcuni di essi si sostituisce la loro somma effettuata

-3+12-7+4-6

invece di operare secondo la definizione  possiamo ad esempio  sostituire gli addendi  +12 -17  e + 4  con la loro somma effettuata perciò ricordando l'uso delle parentesi  si può scrivere

-3+12-17+4 -6 = -3+(12-17+4)-6

la proprietà associativa  può essere espressa  mediante la seguente regola pratica

in una somma di più numeri relativi  si può racchiudere tra parentesi preceduta dal segno +  un numero qualunque di addendi  scrivendo questi numeri con gli stessi segni che hanno nella somma data

OSSERVAZIONE
i numeri che sostituiscono la somma effettuata no devono necessariamente occupare posizioni consecutive  perché mediante la proprietà commutativa si possono sempre ordinare in posizioni  consecutive prima di sostituirli con la somma effettuata

proprietà dissociativa - la somma di più numeri relativi non cambia se ad uno di essi si sostituiscono  più numeri relativi  la cui somma sia eguale al numero soppresso

-7+ (8-5+2) = -7+8-5+2

si può anche dire che per aggiungere a un numero una somma si può aggiungere a quel numero  ciascun addendo alla somma

da qui si deduce una regola pratica

quando davanti ad una parentesi  che racchiude una somma vi è il segno +  si può togliere la partentesi sopprimendo il segno +  che a precede e lasciando  inalterato i segni dei suoi addendi 

usando la proprietà commutativa si possono  sommare tra loro  separatamente i numeri positivi e quelli negativi e poi si sommano i due numeri relativi ottenuti

numeri relativi : addizione

l'addizione con i numeri relativi si indica ponendo il segno + fra i numeri relativi chiusi entro una parentesi con il proprio segno

esempio

(+7)+(-15)+(+10)+(-4)

la somma di due numeri relativi è definita dalle definizioni

I   la somma di due numeri relativi dello stesso segno  è il numero relativo che ha lo setto segno degli addendi e per valore assoluto la somma di loro valori assoluti

esempi

(+7)+(+15) = +22

(-8)+ (-6) = -14

questa regola è evidente se pensiamo a numeri positivi come crediti e i numeri relativi come debiti

II   la somma di due numeri relativi di segno contrario  è il numero relativo che ha il segno  dell'addendo  in valore assoluto maggiore  e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei numeri dati

esempi

(+10) + (-7) = +3
(+15 ) +(-20) = - 5

II  la somma di due numeri opposti è 0

esempi

(+7) + (-7) = 0
(-10) + (+10) = 0

IV la somma di un numero relativo  e di zero è uguale al primo numero

esempio
(+3)+ 0 = +3

V   la somma di più numeri relativi in un dato ordine è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al primo  il secondo alla somma ottenuta il terzo  e così via

esempio

(+3) + (-10) + (-6) + (+15) + (-7) =
(-7) + (-6) + (+15)+(-7)=
(-13) + (+15) +(-7) =
(+2 )+ (-7) = -5

se uno o più numeri sono frazioni  si riducono i valori assoluti al minimo comune denominatore  e si sommano  i numeri frazionari applicando  le regole precedenti

numeri relativi - addizione