geometria - i teoremi inversi
Consideriamo l'implicazione logica espressa nel proverbio "chi dorme non piglia pesci".
Dall'ipotesi una persona dorme discende la tesi non piglia pesci.
Proviamo a rovesciare il discorso cioè a scambiare l'ipotesi con la tesi. Me viene fuori l'implicazione inversa chi non piglia pesci dorme ma questo non è esatto non tutti quelli che non pigliano pesci stanno dormendo.
Mentre se prendiamo il teorema " se due corde di un cerchio sono uguali esse hanno uguali distanze dal centro ".
Scambiando l'ipotesi con la tesi si ottiene il teorema inverso se due corde di un cerchio hanno uguali distanze dal centro sono uguali infatti anche questo teorema è vero.
Quando due teoremi uno inverso dell'altro sono entrambi veri si conviene enunciarli insieme facendo precedere l'enunciato di uno solo di essi dalla locazione condizione necessaria e sufficiente.
Non sempre per un teorema diretto ne esiste uno inverso.
martedì 6 giugno 2017
lunedì 5 giugno 2017
geometria - i corollari
geometria - i corollari
in certi casi accade che, una volta dimostrato un teorema da questo conseguano altri teoremi in modo tanto immediato che le relative dimostrazioni possono essere del tutto omesse o appena accennate. tali proposizioni, che sono immediate conseguenze di un precedente teorema sono dette suoi corollari.
Ad esempio una volta dimostrato il teorema: "in un triangolo ad angolo maggiore corrisponde il lato maggior" di può subito dedurre il corollario: "l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore di ciascuno dei due cateti".
si può ricordare che essendo retto l'angolo opposto all'ipotenusa esso è maggiore degli angoli opposti ai cateti che sono acuti.
Si noti che è piuttosto soggettivo lo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un'altra preposizione ammessa in precedenza. Per questo motivo la distinzione tra teoremi veri e propri e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.
Certe proprietà degli enti geometrici sono espresse da proporzioni non dimostrabili che chiameremo postulati o assiomi. Anche da tali proprietà discendono conseguenze del tutto immediate.
Esse pure vengono dette corollari.
in certi casi accade che, una volta dimostrato un teorema da questo conseguano altri teoremi in modo tanto immediato che le relative dimostrazioni possono essere del tutto omesse o appena accennate. tali proposizioni, che sono immediate conseguenze di un precedente teorema sono dette suoi corollari.
Ad esempio una volta dimostrato il teorema: "in un triangolo ad angolo maggiore corrisponde il lato maggior" di può subito dedurre il corollario: "l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è maggiore di ciascuno dei due cateti".
si può ricordare che essendo retto l'angolo opposto all'ipotenusa esso è maggiore degli angoli opposti ai cateti che sono acuti.
Si noti che è piuttosto soggettivo lo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un'altra preposizione ammessa in precedenza. Per questo motivo la distinzione tra teoremi veri e propri e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.
Certe proprietà degli enti geometrici sono espresse da proporzioni non dimostrabili che chiameremo postulati o assiomi. Anche da tali proprietà discendono conseguenze del tutto immediate.
Esse pure vengono dette corollari.
geometria - i teoremi
geometria - i teoremi
"riscaldando un corpo solido si dilata"
Il prodursi del primo fatto implica il verificarsi del secondo. Per questo motivo questa frase prende il nome di implicazioni logiche o semplicemente implicazioni.
La prima delle situazioni considerate si chiama ipotesi. La seconda si dice tesi.
L'ipotesi riscaldo un corpo solido
la tesi il corpo si dilata.
Nelle implicazioni logiche di tipo matematico la dipendenza della tesi dalla relativa ipotesi non viene accettata perché la cosa è evidente o perché l'esperienza ripetuta ci prova che tale dipendenza effettivamente sussiste, bensì in virtù di un preciso ragionamento che viene detto dimostrazione.
Le implicazioni logiche che possono essere provate mediante una dimostrazione si chiamano teoremi.
In un teorema la proposizione che si intende dimostrare viene detta enunciato del teorema stesso.
"riscaldando un corpo solido si dilata"
Il prodursi del primo fatto implica il verificarsi del secondo. Per questo motivo questa frase prende il nome di implicazioni logiche o semplicemente implicazioni.
La prima delle situazioni considerate si chiama ipotesi. La seconda si dice tesi.
L'ipotesi riscaldo un corpo solido
la tesi il corpo si dilata.
Nelle implicazioni logiche di tipo matematico la dipendenza della tesi dalla relativa ipotesi non viene accettata perché la cosa è evidente o perché l'esperienza ripetuta ci prova che tale dipendenza effettivamente sussiste, bensì in virtù di un preciso ragionamento che viene detto dimostrazione.
Le implicazioni logiche che possono essere provate mediante una dimostrazione si chiamano teoremi.
In un teorema la proposizione che si intende dimostrare viene detta enunciato del teorema stesso.
i concetti primitivi - geometria
i concetti primitivi - geometria
Vogliamo ora mostrare come non sia possibile definire tutti i concetti che figurano in una data materia. In particolare ci interessa chiarire la definizione di tutti i concetti geometrici.
Quindi per definire un quadrato dobbiamo conoscere i concetti di angolo lato uguaglianza. Di conseguenza prima di parlare del quadrato dobbiamo precisare che " un quadrilatero è un poligono che ha quattro vertici " che "un suo lato è il segmento che per estremi due vertici consecutivi" ecc.
Ma anche queste definizioni presuppongono la conoscenza di altri termini geometrici (poligono vertice segmento) i quali pure possono essere introdotti solo mediante l'ausilio di altri enti che, a loro volta, sono definibili facendo riferimento a concetti precedentemente considerati.
Tale procedimento a ritroso col quale stabiliamo un possibile ordine secondo cui vanno introdotti e definiti i diversi termini del discorso geometrico non può evidentemente continuare all'infinito.
In altre parole è necessario che di alcuni concetti (detti concetti o enti primitivi) non venga data alcuna definizione,.
Essi costituiranno la base su cui costruire altre definizioni.
Vogliamo ora mostrare come non sia possibile definire tutti i concetti che figurano in una data materia. In particolare ci interessa chiarire la definizione di tutti i concetti geometrici.
Quindi per definire un quadrato dobbiamo conoscere i concetti di angolo lato uguaglianza. Di conseguenza prima di parlare del quadrato dobbiamo precisare che " un quadrilatero è un poligono che ha quattro vertici " che "un suo lato è il segmento che per estremi due vertici consecutivi" ecc.
Ma anche queste definizioni presuppongono la conoscenza di altri termini geometrici (poligono vertice segmento) i quali pure possono essere introdotti solo mediante l'ausilio di altri enti che, a loro volta, sono definibili facendo riferimento a concetti precedentemente considerati.
Tale procedimento a ritroso col quale stabiliamo un possibile ordine secondo cui vanno introdotti e definiti i diversi termini del discorso geometrico non può evidentemente continuare all'infinito.
In altre parole è necessario che di alcuni concetti (detti concetti o enti primitivi) non venga data alcuna definizione,.
Essi costituiranno la base su cui costruire altre definizioni.
domenica 4 giugno 2017
definizioni in geometria
definizioni in geometria
Una definizione è una frase nella quale si spiega qual è la natura di un certo ente e si attribuisce ad esso il nome che lo contraddistingue.
La definizione chiarisce qual è il significato dell'ente preso in esame utilizzando la conoscenza di altri enti (o concetti o cose).
Così per spiegare che cos'è il vento? possiamo dire che un movimento di masse d'aria dovuto a diverso riscaldamento delle diverse zone della terra.
che cos'è il quadrato ? un quadrato è un quadrilatero con i lati uguali e gli angoli uguali.
per spiegare che cos'è il vento abbiamo supposto che il lettore fosse a conoscenza dei vocaboli movimento, masse, aria, riscaldamento, Terra. Allo stesso modo la definizione che abbiamo dato del quadrato è intellegibile solo se sono noti i concetti di quadrilatero, lato angolo, uguaglianza.
Una definizione è una frase nella quale si spiega qual è la natura di un certo ente e si attribuisce ad esso il nome che lo contraddistingue.
La definizione chiarisce qual è il significato dell'ente preso in esame utilizzando la conoscenza di altri enti (o concetti o cose).
Così per spiegare che cos'è il vento? possiamo dire che un movimento di masse d'aria dovuto a diverso riscaldamento delle diverse zone della terra.
che cos'è il quadrato ? un quadrato è un quadrilatero con i lati uguali e gli angoli uguali.
per spiegare che cos'è il vento abbiamo supposto che il lettore fosse a conoscenza dei vocaboli movimento, masse, aria, riscaldamento, Terra. Allo stesso modo la definizione che abbiamo dato del quadrato è intellegibile solo se sono noti i concetti di quadrilatero, lato angolo, uguaglianza.
i fondamenti della geometria
i fondamenti della geometria
La geometria intuitiva ( cioè la geometria studiata col metodo intuitivo) cerca di stabilire le proprietà dei corpi e delle figure in base alla esperienza che ce ne dànno i nostri sensi, cioè in base all'osservazione attenta di corpi aventi forme particolari e di figure aventi certe caratteristiche. Da queste osservazioni sperimentali la geometria deriva le regole e le definizioni come generalizzazione suggerita dall'intuizione delle proprietà osservate.
La geometria razionale (cioè studiata con il metodo razionale) si riferisce invece a figure ideali che sono delle pure e semplici astrazioni della mente. Di esse noi troviamo nella realtà fisica delle imitazioni grossolane e approssimate.
Le proprietà di queste figure non vengono stabilite in base all'esperienza ma sono in virtù di precisi ragionamenti che trascurano tutto ciò che in particolare ha la figura presa in esame e si basano soltanto sulle sue proprietà generali. In tal modo il ragionamento assume un carattere universale. Cioè senza possibilità di errore tanto per quella figura quanto per tutte le altre che godono delle stesse proprietà.
Geometria intuitiva e geometria razionale
La geometria intuitiva ( cioè la geometria studiata col metodo intuitivo) cerca di stabilire le proprietà dei corpi e delle figure in base alla esperienza che ce ne dànno i nostri sensi, cioè in base all'osservazione attenta di corpi aventi forme particolari e di figure aventi certe caratteristiche. Da queste osservazioni sperimentali la geometria deriva le regole e le definizioni come generalizzazione suggerita dall'intuizione delle proprietà osservate.
La geometria razionale (cioè studiata con il metodo razionale) si riferisce invece a figure ideali che sono delle pure e semplici astrazioni della mente. Di esse noi troviamo nella realtà fisica delle imitazioni grossolane e approssimate.
Le proprietà di queste figure non vengono stabilite in base all'esperienza ma sono in virtù di precisi ragionamenti che trascurano tutto ciò che in particolare ha la figura presa in esame e si basano soltanto sulle sue proprietà generali. In tal modo il ragionamento assume un carattere universale. Cioè senza possibilità di errore tanto per quella figura quanto per tutte le altre che godono delle stesse proprietà.
origini della geometria
origini della geometria
La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (Ghe = terra e metron =misura) .
Nacque per esigenza nell'antichità di stabilire regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.
Non vi è però una testimonianza certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.
Possiamo affermare con sicurezza che gli antichi Egiziani possedevano alcuni elementi di questa materia.
Lo documentano diversi papiri e in particolare il papiro di Rgind ( della lunghezza di circa 20 metri e che si conserva nel British Museum di Londra ( nel quale è contenuto il libro di calcolo di Ahmes così chiamato lo scriba che trascrisse un teso che già aveva alcuni secoli di vita. In esso sono riportate le regole per la misura di campi quadrangolari e triangolari nonché elementi del calcolo con le frazioni e misure di certi solidi.
Notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi ci provengono da Erodoto e da Proclo.
Quest'ultimo è considerato il più autorevole storico delle antiche matematiche così scrive : "seguendo la tradizione generale diremo che gli Egiziani furono i primi inventori della geometria e che essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare per le inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà".
Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare e precisamente sapevano che un triangolo con i lati lunghi 3, 4 , 5 volte una certa unità di misura è rettangolo.
Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con corde e picchetti un triangolo di tale tipo in questo modo disegnavano angoli retti che servivano come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e templi.
Ciò conferma il pensiero di Proclo secondo cui la geometria egiziana aveva solo carattere pratico.
Solo più tardi nell'antica Grecia la geometria si sviluppò come scienza pura e venne studiata in modo autonomo prescindendo dai problemi pratici. I greci riorganizzarono l'intero edificio geometrico passando per primi da una esposizione frammentaria ad una rigorosa. L'opera fondamentale è costruita dagli elementi di Euclide.
Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo a.C. sono state per oltre venti secoli un vero e proprio modello per tutti gli studiosi.
Proprio per l'importanza dell'opera di Euclide dividiamo la storia in due periodi: pre-euclideo e euclideo.
La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (Ghe = terra e metron =misura) .
Nacque per esigenza nell'antichità di stabilire regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.
Non vi è però una testimonianza certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.
Possiamo affermare con sicurezza che gli antichi Egiziani possedevano alcuni elementi di questa materia.
Lo documentano diversi papiri e in particolare il papiro di Rgind ( della lunghezza di circa 20 metri e che si conserva nel British Museum di Londra ( nel quale è contenuto il libro di calcolo di Ahmes così chiamato lo scriba che trascrisse un teso che già aveva alcuni secoli di vita. In esso sono riportate le regole per la misura di campi quadrangolari e triangolari nonché elementi del calcolo con le frazioni e misure di certi solidi.
Notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi ci provengono da Erodoto e da Proclo.
Quest'ultimo è considerato il più autorevole storico delle antiche matematiche così scrive : "seguendo la tradizione generale diremo che gli Egiziani furono i primi inventori della geometria e che essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare per le inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà".
Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare e precisamente sapevano che un triangolo con i lati lunghi 3, 4 , 5 volte una certa unità di misura è rettangolo.
Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con corde e picchetti un triangolo di tale tipo in questo modo disegnavano angoli retti che servivano come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e templi.
Ciò conferma il pensiero di Proclo secondo cui la geometria egiziana aveva solo carattere pratico.
Solo più tardi nell'antica Grecia la geometria si sviluppò come scienza pura e venne studiata in modo autonomo prescindendo dai problemi pratici. I greci riorganizzarono l'intero edificio geometrico passando per primi da una esposizione frammentaria ad una rigorosa. L'opera fondamentale è costruita dagli elementi di Euclide.
Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo a.C. sono state per oltre venti secoli un vero e proprio modello per tutti gli studiosi.
Proprio per l'importanza dell'opera di Euclide dividiamo la storia in due periodi: pre-euclideo e euclideo.
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