i concetti primitivi - geometria
Vogliamo ora mostrare come non sia possibile definire tutti i concetti che figurano in una data materia. In particolare ci interessa chiarire la definizione di tutti i concetti geometrici.
Quindi per definire un quadrato dobbiamo conoscere i concetti di angolo lato uguaglianza. Di conseguenza prima di parlare del quadrato dobbiamo precisare che " un quadrilatero è un poligono che ha quattro vertici " che "un suo lato è il segmento che per estremi due vertici consecutivi" ecc.
Ma anche queste definizioni presuppongono la conoscenza di altri termini geometrici (poligono vertice segmento) i quali pure possono essere introdotti solo mediante l'ausilio di altri enti che, a loro volta, sono definibili facendo riferimento a concetti precedentemente considerati.
Tale procedimento a ritroso col quale stabiliamo un possibile ordine secondo cui vanno introdotti e definiti i diversi termini del discorso geometrico non può evidentemente continuare all'infinito.
In altre parole è necessario che di alcuni concetti (detti concetti o enti primitivi) non venga data alcuna definizione,.
Essi costituiranno la base su cui costruire altre definizioni.
lunedì 5 giugno 2017
domenica 4 giugno 2017
definizioni in geometria
definizioni in geometria
Una definizione è una frase nella quale si spiega qual è la natura di un certo ente e si attribuisce ad esso il nome che lo contraddistingue.
La definizione chiarisce qual è il significato dell'ente preso in esame utilizzando la conoscenza di altri enti (o concetti o cose).
Così per spiegare che cos'è il vento? possiamo dire che un movimento di masse d'aria dovuto a diverso riscaldamento delle diverse zone della terra.
che cos'è il quadrato ? un quadrato è un quadrilatero con i lati uguali e gli angoli uguali.
per spiegare che cos'è il vento abbiamo supposto che il lettore fosse a conoscenza dei vocaboli movimento, masse, aria, riscaldamento, Terra. Allo stesso modo la definizione che abbiamo dato del quadrato è intellegibile solo se sono noti i concetti di quadrilatero, lato angolo, uguaglianza.
Una definizione è una frase nella quale si spiega qual è la natura di un certo ente e si attribuisce ad esso il nome che lo contraddistingue.
La definizione chiarisce qual è il significato dell'ente preso in esame utilizzando la conoscenza di altri enti (o concetti o cose).
Così per spiegare che cos'è il vento? possiamo dire che un movimento di masse d'aria dovuto a diverso riscaldamento delle diverse zone della terra.
che cos'è il quadrato ? un quadrato è un quadrilatero con i lati uguali e gli angoli uguali.
per spiegare che cos'è il vento abbiamo supposto che il lettore fosse a conoscenza dei vocaboli movimento, masse, aria, riscaldamento, Terra. Allo stesso modo la definizione che abbiamo dato del quadrato è intellegibile solo se sono noti i concetti di quadrilatero, lato angolo, uguaglianza.
i fondamenti della geometria
i fondamenti della geometria
La geometria intuitiva ( cioè la geometria studiata col metodo intuitivo) cerca di stabilire le proprietà dei corpi e delle figure in base alla esperienza che ce ne dànno i nostri sensi, cioè in base all'osservazione attenta di corpi aventi forme particolari e di figure aventi certe caratteristiche. Da queste osservazioni sperimentali la geometria deriva le regole e le definizioni come generalizzazione suggerita dall'intuizione delle proprietà osservate.
La geometria razionale (cioè studiata con il metodo razionale) si riferisce invece a figure ideali che sono delle pure e semplici astrazioni della mente. Di esse noi troviamo nella realtà fisica delle imitazioni grossolane e approssimate.
Le proprietà di queste figure non vengono stabilite in base all'esperienza ma sono in virtù di precisi ragionamenti che trascurano tutto ciò che in particolare ha la figura presa in esame e si basano soltanto sulle sue proprietà generali. In tal modo il ragionamento assume un carattere universale. Cioè senza possibilità di errore tanto per quella figura quanto per tutte le altre che godono delle stesse proprietà.
Geometria intuitiva e geometria razionale
La geometria intuitiva ( cioè la geometria studiata col metodo intuitivo) cerca di stabilire le proprietà dei corpi e delle figure in base alla esperienza che ce ne dànno i nostri sensi, cioè in base all'osservazione attenta di corpi aventi forme particolari e di figure aventi certe caratteristiche. Da queste osservazioni sperimentali la geometria deriva le regole e le definizioni come generalizzazione suggerita dall'intuizione delle proprietà osservate.
La geometria razionale (cioè studiata con il metodo razionale) si riferisce invece a figure ideali che sono delle pure e semplici astrazioni della mente. Di esse noi troviamo nella realtà fisica delle imitazioni grossolane e approssimate.
Le proprietà di queste figure non vengono stabilite in base all'esperienza ma sono in virtù di precisi ragionamenti che trascurano tutto ciò che in particolare ha la figura presa in esame e si basano soltanto sulle sue proprietà generali. In tal modo il ragionamento assume un carattere universale. Cioè senza possibilità di errore tanto per quella figura quanto per tutte le altre che godono delle stesse proprietà.
origini della geometria
origini della geometria
La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (Ghe = terra e metron =misura) .
Nacque per esigenza nell'antichità di stabilire regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.
Non vi è però una testimonianza certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.
Possiamo affermare con sicurezza che gli antichi Egiziani possedevano alcuni elementi di questa materia.
Lo documentano diversi papiri e in particolare il papiro di Rgind ( della lunghezza di circa 20 metri e che si conserva nel British Museum di Londra ( nel quale è contenuto il libro di calcolo di Ahmes così chiamato lo scriba che trascrisse un teso che già aveva alcuni secoli di vita. In esso sono riportate le regole per la misura di campi quadrangolari e triangolari nonché elementi del calcolo con le frazioni e misure di certi solidi.
Notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi ci provengono da Erodoto e da Proclo.
Quest'ultimo è considerato il più autorevole storico delle antiche matematiche così scrive : "seguendo la tradizione generale diremo che gli Egiziani furono i primi inventori della geometria e che essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare per le inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà".
Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare e precisamente sapevano che un triangolo con i lati lunghi 3, 4 , 5 volte una certa unità di misura è rettangolo.
Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con corde e picchetti un triangolo di tale tipo in questo modo disegnavano angoli retti che servivano come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e templi.
Ciò conferma il pensiero di Proclo secondo cui la geometria egiziana aveva solo carattere pratico.
Solo più tardi nell'antica Grecia la geometria si sviluppò come scienza pura e venne studiata in modo autonomo prescindendo dai problemi pratici. I greci riorganizzarono l'intero edificio geometrico passando per primi da una esposizione frammentaria ad una rigorosa. L'opera fondamentale è costruita dagli elementi di Euclide.
Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo a.C. sono state per oltre venti secoli un vero e proprio modello per tutti gli studiosi.
Proprio per l'importanza dell'opera di Euclide dividiamo la storia in due periodi: pre-euclideo e euclideo.
La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (Ghe = terra e metron =misura) .
Nacque per esigenza nell'antichità di stabilire regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.
Non vi è però una testimonianza certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.
Possiamo affermare con sicurezza che gli antichi Egiziani possedevano alcuni elementi di questa materia.
Lo documentano diversi papiri e in particolare il papiro di Rgind ( della lunghezza di circa 20 metri e che si conserva nel British Museum di Londra ( nel quale è contenuto il libro di calcolo di Ahmes così chiamato lo scriba che trascrisse un teso che già aveva alcuni secoli di vita. In esso sono riportate le regole per la misura di campi quadrangolari e triangolari nonché elementi del calcolo con le frazioni e misure di certi solidi.
Notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi ci provengono da Erodoto e da Proclo.
Quest'ultimo è considerato il più autorevole storico delle antiche matematiche così scrive : "seguendo la tradizione generale diremo che gli Egiziani furono i primi inventori della geometria e che essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare per le inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà".
Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare e precisamente sapevano che un triangolo con i lati lunghi 3, 4 , 5 volte una certa unità di misura è rettangolo.
Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con corde e picchetti un triangolo di tale tipo in questo modo disegnavano angoli retti che servivano come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e templi.
Ciò conferma il pensiero di Proclo secondo cui la geometria egiziana aveva solo carattere pratico.
Solo più tardi nell'antica Grecia la geometria si sviluppò come scienza pura e venne studiata in modo autonomo prescindendo dai problemi pratici. I greci riorganizzarono l'intero edificio geometrico passando per primi da una esposizione frammentaria ad una rigorosa. L'opera fondamentale è costruita dagli elementi di Euclide.
Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo a.C. sono state per oltre venti secoli un vero e proprio modello per tutti gli studiosi.
Proprio per l'importanza dell'opera di Euclide dividiamo la storia in due periodi: pre-euclideo e euclideo.
venerdì 26 maggio 2017
ripasso aritmetica I°
ripasso aritmetica
i numeri razionali assoluti sono tutti numeri interi e frazionari
ADDIZIONE
a) proprietà commutativa : la somma di più numeri non cambia se si cambia il numero degli addendi
b) proprietà associativa : la somma di più numeri non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma
c) proprietà dissociativa: La somma di più numeri non cambia se un suo addendo viene sostituito con due o più altri addendi la cui somma sia uguale all'addendo sostituito.
La somma di qualsiasi numero e dello zero è uguale al numero considerato.
MOLTIPLICAZIONE
a) proprietà commutativa : Il prodotto di due o più numeri non dipende dall'ordine dei fattori
b) proprietà associativa : il prodotto di due o più numeri non cambia se a due o a più fattori si sostituisce il loro prodotto
c) proprietà dissociativa : il prodotto di più numeri non cambia se un fattore si sostituisce con due o più fattori il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito
d) proprietà distributiva : Il prodotto di una somma per un numero è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ordinatamente gli addendi della somma data per quel numeri
EQUIVALENZE
unità di misura
derivate dal metro
Mm miriametro 10.000 metri
km chilometro 1.000 metri
hm ettometro 100 metri
dam decametro 10 metri
m metro 1 metro
dm decimetro 0,1 metro
cm centimetro 0.01 metro
mm millimetro 0,001 metro
per la superficie diventeranno km^2 , m^2 ecc. nei solidi Km^3 m^3 ecc.
misure agrarie
ha ettaro 10.000 metri quadrati
a ara 100 metri quadrati
ca centiara 1 metro quadrato
derivati dal litro
kl chilolitro 1000 litri
hl ettolitro 100 litri
dal decalitro 10 litri
l litro 1 litro
dl decilitro 0,1 litro
cl centilitro 0,01 litro
ml millilitro 0.001 litro
derivati dal grammo
t tonnellata 1000.000 grammi
q quintale 100.000 grammi
Mg miriagrammo 10.000 grammi
kg chilogrammo 1000 grammi
hg ettogrammo 100 grammi
dag decagrammo 10 grammi
g grammo 1 grammo
dg decigrammo 0,1 grammi
cg centigrammo 0,01 grammi
mg millligrammo 0,001 grammi
peso specifico
Ps = P:V peso specifico = peso : volume
P= Ps x V peso = peso specifico x volume
V= P: Ps volume = perso : peso specifico
i numeri primi sono numeri divisibili per 1 o per se stessi
scomporre un numero in fattori primi significa cercare i fattori primi contenuti esattamente nel numero dato e scrivere il numero in stesso come prodotto di divisori primi
un numero è divisibile per un altro quando, scomposti entrambi in fattori primi il primo contiene tutti i fattori del secondo ognuno con esponente maggiore o uguale a quello con cui figura nel secondo
MCD = MASSIMO COMUN DIVISORE
il più grande numero contenuti in due o più numeri dati si trova scomponendo in fattori primi moltiplicando tra loro i fattori comuni con il minimo esponente
MCM = MINIMO COMUNE MULTIPLO
il minor numero che contiene tutti i numeri dati si calcola scomponendo i numero in fattori primi e si moltiplicano fra lor i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente
UNITA' FRAZIONARIA
ciascuna delle parti ottenute dividendo l'unità intera in un certo numero di parti
il numero delle parti prese in considerazione è numeratore
il numero delle parti in cui è divisa l'unità è denominatore
un unità frazionaria con stesso numeratore e denominatore è una parte intera
frazione propria il numeratore è minore del denominatore
frazione improprio il numeratore è maggiore del denominatore
frazione apparente il numeratore è multiplo del denominatore
Il valore di una frazione non cambia se moltiplichiamo o dividiamo i due termini per uno stesso numero
i numeri razionali assoluti sono tutti numeri interi e frazionari
ADDIZIONE
a) proprietà commutativa : la somma di più numeri non cambia se si cambia il numero degli addendi
b) proprietà associativa : la somma di più numeri non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma
c) proprietà dissociativa: La somma di più numeri non cambia se un suo addendo viene sostituito con due o più altri addendi la cui somma sia uguale all'addendo sostituito.
La somma di qualsiasi numero e dello zero è uguale al numero considerato.
MOLTIPLICAZIONE
a) proprietà commutativa : Il prodotto di due o più numeri non dipende dall'ordine dei fattori
b) proprietà associativa : il prodotto di due o più numeri non cambia se a due o a più fattori si sostituisce il loro prodotto
c) proprietà dissociativa : il prodotto di più numeri non cambia se un fattore si sostituisce con due o più fattori il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito
d) proprietà distributiva : Il prodotto di una somma per un numero è uguale alla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ordinatamente gli addendi della somma data per quel numeri
EQUIVALENZE
unità di misura
derivate dal metro
Mm miriametro 10.000 metri
km chilometro 1.000 metri
hm ettometro 100 metri
dam decametro 10 metri
m metro 1 metro
dm decimetro 0,1 metro
cm centimetro 0.01 metro
mm millimetro 0,001 metro
per la superficie diventeranno km^2 , m^2 ecc. nei solidi Km^3 m^3 ecc.
misure agrarie
ha ettaro 10.000 metri quadrati
a ara 100 metri quadrati
ca centiara 1 metro quadrato
derivati dal litro
kl chilolitro 1000 litri
hl ettolitro 100 litri
dal decalitro 10 litri
l litro 1 litro
dl decilitro 0,1 litro
cl centilitro 0,01 litro
ml millilitro 0.001 litro
derivati dal grammo
t tonnellata 1000.000 grammi
q quintale 100.000 grammi
Mg miriagrammo 10.000 grammi
kg chilogrammo 1000 grammi
hg ettogrammo 100 grammi
dag decagrammo 10 grammi
g grammo 1 grammo
dg decigrammo 0,1 grammi
cg centigrammo 0,01 grammi
mg millligrammo 0,001 grammi
peso specifico
Ps = P:V peso specifico = peso : volume
P= Ps x V peso = peso specifico x volume
V= P: Ps volume = perso : peso specifico
i numeri primi sono numeri divisibili per 1 o per se stessi
scomporre un numero in fattori primi significa cercare i fattori primi contenuti esattamente nel numero dato e scrivere il numero in stesso come prodotto di divisori primi
un numero è divisibile per un altro quando, scomposti entrambi in fattori primi il primo contiene tutti i fattori del secondo ognuno con esponente maggiore o uguale a quello con cui figura nel secondo
MCD = MASSIMO COMUN DIVISORE
il più grande numero contenuti in due o più numeri dati si trova scomponendo in fattori primi moltiplicando tra loro i fattori comuni con il minimo esponente
MCM = MINIMO COMUNE MULTIPLO
il minor numero che contiene tutti i numeri dati si calcola scomponendo i numero in fattori primi e si moltiplicano fra lor i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente
UNITA' FRAZIONARIA
ciascuna delle parti ottenute dividendo l'unità intera in un certo numero di parti
il numero delle parti prese in considerazione è numeratore
il numero delle parti in cui è divisa l'unità è denominatore
un unità frazionaria con stesso numeratore e denominatore è una parte intera
frazione propria il numeratore è minore del denominatore
frazione improprio il numeratore è maggiore del denominatore
frazione apparente il numeratore è multiplo del denominatore
Il valore di una frazione non cambia se moltiplichiamo o dividiamo i due termini per uno stesso numero
mercoledì 29 marzo 2017
gli insiemi matematici scuola superiore
gli insiemi matematici scuola superiore
Concetto di insieme
Sono fondamentali per la matematica moderno sia il concetto di insieme si a quello di elemento dell'insieme che noi assumiamo come concetti primitivi ossia non li definiamo in quanto costituiscono per noi il punto di partenza per definirne altri. Tuttavia riteniamo utile illustrare i due concetto con le parole stesse usate da Cantor : con i nome di insieme intendiamo ogni raccolta classe aggregato totalità I di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: Tali oggetti vengono chiamati gli elementi di I.
Gli elementi di un insieme (astratti o concreti) possono essere di natura qualsiasi purchè ben determinati; cioè che si sappia decidere senza ambiguità se un elemento appartiene o no all'insieme considerato: Pertanto un insieme reterà individuato quando si conoscono singolarmente gli elementi o perchè effettivamente elencati o perché assegnati mediante una proprietà caratteristica.
oppure può essere individuato assegnando la proprietà caratteristica di suoi elementi (numeri naturali maggiori di 2 e minori di 7)
I = 2< x < 7
(che si legge insieme formato dagli elementi x tali che siano compresi tra 2 e 7 )
non sarebbe esauriente perché non è indicato l'ambiente in cui bisogna trarre gli elementi x infatti x potrebbe indifferentemente rappresentare un numero naturale o solamente pari o solamente dispari o un numero razionale ecc.
La totalità degli elementi da cui bisogna trare quelli occorrenti per formare un insieme si dice insieme ambiente o insieme universo che indicheremo con U
E' molto comoda la rappresentazione grafica degli insiemi realizzata con i diagrammi di Venn secondo cui un insieme è raffigurato da una linea chiusa indicante I
Concetto di insieme
Sono fondamentali per la matematica moderno sia il concetto di insieme si a quello di elemento dell'insieme che noi assumiamo come concetti primitivi ossia non li definiamo in quanto costituiscono per noi il punto di partenza per definirne altri. Tuttavia riteniamo utile illustrare i due concetto con le parole stesse usate da Cantor : con i nome di insieme intendiamo ogni raccolta classe aggregato totalità I di oggetti ben determinati e distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero: Tali oggetti vengono chiamati gli elementi di I.
Gli elementi di un insieme (astratti o concreti) possono essere di natura qualsiasi purchè ben determinati; cioè che si sappia decidere senza ambiguità se un elemento appartiene o no all'insieme considerato: Pertanto un insieme reterà individuato quando si conoscono singolarmente gli elementi o perchè effettivamente elencati o perché assegnati mediante una proprietà caratteristica.
I = 2< x < 7
(che si legge insieme formato dagli elementi x tali che siano compresi tra 2 e 7 )
non sarebbe esauriente perché non è indicato l'ambiente in cui bisogna trarre gli elementi x infatti x potrebbe indifferentemente rappresentare un numero naturale o solamente pari o solamente dispari o un numero razionale ecc.
La totalità degli elementi da cui bisogna trare quelli occorrenti per formare un insieme si dice insieme ambiente o insieme universo che indicheremo con UE' molto comoda la rappresentazione grafica degli insiemi realizzata con i diagrammi di Venn secondo cui un insieme è raffigurato da una linea chiusa indicante I
lunedì 27 marzo 2017
monomi
Si dice monomio qualunque espressione algebrica in cui non figurano addizioni o sottrazioni
per esempio
10 a^3b e (2)a(+5)b
vediamo che ogni monomio si può presentare come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze di basi diverso.
2a^2b^2c
In questo caso il monomio si dice ridotto alla forma normale.
Si dice coefficiente di un monomio ridotto alla forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti.
Un monomio ridotto in forma normale si dice intero se le lettere non figurano al denominatore cioè se tutte le sue lettere hanno esponente positivo in caso contrario si dice frazionario
monomi interi
5a^2 - 3 x^2yz
4
monomi frazionari
2a^2 - 3y
b^3 4x
si dice grado di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere
si ricordi che ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1
7ab^2c^3 è 1+2+3 = 6
Il grado ora definito si dice grado complessivo.
Si dice invece grado di un monomio intero rispetto ad una lettera l'esponente di quella lettera
per esempio
3 a^3b^2c^
è di grado 3 rispetto alla lettera a
Se in un monomio manca una data lettera si dice di grado 0 rispetto a quella lettera
per esempio
3ab^2c^0 è zero rispetto alla lettera c che corrisponde a 1
per esempio
10 a^3b e (2)a(+5)b
vediamo che ogni monomio si può presentare come il prodotto di un solo fattore numerico e di potenze di basi diverso.
2a^2b^2c
In questo caso il monomio si dice ridotto alla forma normale.
Si dice coefficiente di un monomio ridotto alla forma normale il suo fattore numerico e parte letterale il prodotto dei fattori letterali coi loro esponenti.
Un monomio ridotto in forma normale si dice intero se le lettere non figurano al denominatore cioè se tutte le sue lettere hanno esponente positivo in caso contrario si dice frazionario
monomi interi
5a^2 - 3 x^2yz
4
monomi frazionari
2a^2 - 3y
b^3 4x
si dice grado di un monomio intero la somma degli esponenti delle sue lettere
si ricordi che ogni lettera priva di esponente va considerata come potenza avente per esponente 1
7ab^2c^3 è 1+2+3 = 6
Il grado ora definito si dice grado complessivo.
Si dice invece grado di un monomio intero rispetto ad una lettera l'esponente di quella lettera
per esempio
3 a^3b^2c^
è di grado 3 rispetto alla lettera a
Se in un monomio manca una data lettera si dice di grado 0 rispetto a quella lettera
per esempio
3ab^2c^0 è zero rispetto alla lettera c che corrisponde a 1
Iscriviti a:
Post (Atom)