Due numeri relativi sono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto
sono uguali per esempio
+5 e +(3+2)
vediamo ora come si possono confrontare due numeri relativi cioè riconoscere dati due numeri relativi se l'uno è maggiore o minore dell'altro.
Si giunge a ciò facilmente interpretando i numeri positivi come crediti e numeri negativi come debiti.
Se un tale ha un credito di 5 euro possiede di più di chi non ha nulla ed un tizio che non ha nulla si trova in condizioni migliore di chi ha un debito di 10 euro
5>0 e 0>di -10
Più generalmente
Ogni numero positivo è maggiore di zero e ogni numero negativo è minore di 0
Se poi un tale ha un credito di 15 euro possiede di più di chi ne ha uno di 10 euro mentre un tale che ha un debito di 20 euro si trova in condizioni migliori di chi ha un debito di 50 ero quindi
+15 > +10 -20 > -50
più generalmente
di due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore e di due numeri negativi ha valore maggiore quello che ha il valore assoluto minore
Risulta evidente che chi ha un credito di 30 ha di più di chi a un debito di venti
+ 30 > - 20
più generalmente ogni numero positivo è maggiore di un numero negativo
DATI DUE NUMERI RELATIVI QUALUNQUE IL MAGGIORE DI ESSI E' QUELLO CHE SULLA RETTA HA PER IMMAGINE UN PUNTO SITUATO PIU' A DESTRA DELL'IMMAGINE DELL'ALTRO
lunedì 2 novembre 2015
lunedì 19 ottobre 2015
rappresentazione dei numeri relativi
data una retta ed un punto 0 detto origine osservate che un punto può percorrere tale retta in due versi opposti chiameremo verso positivo cioè quello che va da sinistra a destra e verso negativo l'opposto
una retta r su cui si a fissato il verso positivo si chiama retta orientata dove u è l'unità di misura
se poi si vuole rappresentare un numero frazionario positivo 3/4 basta dividere l'unità in 4 e considerare 3 parti i punti segnati su una retta si chiamano immagini dei numeri relativi
una retta r su cui si a fissato il verso positivo si chiama retta orientata dove u è l'unità di misura
se poi si vuole rappresentare un numero frazionario positivo 3/4 basta dividere l'unità in 4 e considerare 3 parti i punti segnati su una retta si chiamano immagini dei numeri relativi
numeri relativi - valore assoluto
Il valore assoluto o il modulo di numero relativo è il numero assoluto che si ottiene da esso sopprimendone il segno
cosi i valori assoluti di
+5 -3 + 1,5
sono 5 3 1,5
due numeri relativi aventi lo stesso segno si dicono concordi
- 3 -5
si dicono discordi se hanno segno diverso
-3 +5
se poi hanno lo stesso valore assoluto ma segni diversi si dicono opposti
-3 +3
si conviene che l'unico numero uguale al suo opposto sia lo zero
-0 = +0 = 0
cosi i valori assoluti di
+5 -3 + 1,5
sono 5 3 1,5
due numeri relativi aventi lo stesso segno si dicono concordi
- 3 -5
si dicono discordi se hanno segno diverso
-3 +5
se poi hanno lo stesso valore assoluto ma segni diversi si dicono opposti
-3 +3
si conviene che l'unico numero uguale al suo opposto sia lo zero
-0 = +0 = 0
domenica 18 ottobre 2015
numeri relativi
E' a noi noto il significato di misura di una grandezza se ad esempio vi dico che un blocco di marmo pesa kg 7 o che un recipiente alla capacità di 3 litri i numeri 3 re 7 sono le misure delle due grandezze considerate la prima rispetto al kg e la seconda rispetto al litro
può esservi invece incertezza se dico che un certo giorno la temperatura è stata di 2 gradi centigradi perché la temperatura può essere al di sopra o al disotto dello 0 che è la temperatura del ghiaccio fondente; così se vi dico che il celebre matematico Archimede è nato ne 287 rimanete indecisi se prima o dopo Cristo
Vi sono delle grandezze che possono variare in due versi opposti sorge quindi la necessità di esprimere la misura di queste grandezze in modo da evitare incertezze
a tale scopo si è convenuto di far precedere il numero che esprime la misura di una di tali grandezze dal segno + o dal segno -
Si conviene ad esempio con +2 una temperatura al di sopra dello zero e - 2 una temperatura al disotto dello 0
Similmente per indicare che si ha un credito di 100 euro scriveremo + 100 euro per indicare un debito di 500 euro scriveremo - 500 euro
se conveniamo di indicare con 0 i punti che si trovano sul livello del mare la misura del vertice del monte Bianco si indicherà con + 4800 metri mentre la misura del punto più profondo del Mediterraneo si indicherà con -4400 metri
si è così introdotto un nuovo insieme di numeri come
+2 -100 +4800
questi numeri che sono preceduti dal segno + o - sono numeri relativi chiameremo assoluti i numeri interi e frazionari senza segno
I numeri relativi preceduti dal segno + si dicono numeri positivi così sono positivi
+54 + 1,5
sono negativi i segni preceduti dal segno -
-4 -5,6
può esservi invece incertezza se dico che un certo giorno la temperatura è stata di 2 gradi centigradi perché la temperatura può essere al di sopra o al disotto dello 0 che è la temperatura del ghiaccio fondente; così se vi dico che il celebre matematico Archimede è nato ne 287 rimanete indecisi se prima o dopo Cristo
Vi sono delle grandezze che possono variare in due versi opposti sorge quindi la necessità di esprimere la misura di queste grandezze in modo da evitare incertezze
a tale scopo si è convenuto di far precedere il numero che esprime la misura di una di tali grandezze dal segno + o dal segno -
Si conviene ad esempio con +2 una temperatura al di sopra dello zero e - 2 una temperatura al disotto dello 0
Similmente per indicare che si ha un credito di 100 euro scriveremo + 100 euro per indicare un debito di 500 euro scriveremo - 500 euro
se conveniamo di indicare con 0 i punti che si trovano sul livello del mare la misura del vertice del monte Bianco si indicherà con + 4800 metri mentre la misura del punto più profondo del Mediterraneo si indicherà con -4400 metri
si è così introdotto un nuovo insieme di numeri come
+2 -100 +4800
questi numeri che sono preceduti dal segno + o - sono numeri relativi chiameremo assoluti i numeri interi e frazionari senza segno
I numeri relativi preceduti dal segno + si dicono numeri positivi così sono positivi
+54 + 1,5
sono negativi i segni preceduti dal segno -
-4 -5,6
venerdì 2 ottobre 2015
le potenze
- si dice potenza di un numero un prodotto di più fattori tutti uguali a quel numero
Il fattore che si deve ripetere si dice base quanti sono i fattori si dice esponente o grado di potenza
L'elevamento a potenza è una legge di composizione interna per l'insieme dei numeri naturali.
5^2 x 5^4 = 5^6
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti
(3^2)^4 = 3^8
Il quoziente di due potenze della stessa base la seconda con esponente minore di quello della prima è uguale a una potenza che ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Per elevare alla potenza un prodotto si può calcolare il prodotto delle potenze dei singoli fattori
(2^3 X 5)^2 = 2^6 x 5^2
per elevare a potenza un quoziente si può calcolare il quoziente e quindi la sua potenza oppure calcolare il quoziente delle potenze del dividendo e del divisore
(7:5)^3 = 7^3 :5^3
La potenza con esponente 0 di un numero qualunque diverso da 0 è uguale a 1
Il fattore che si deve ripetere si dice base quanti sono i fattori si dice esponente o grado di potenza
L'elevamento a potenza è una legge di composizione interna per l'insieme dei numeri naturali.
proprietà delle potenze
- il prodotto di più potenze di egual base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti5^2 x 5^4 = 5^6
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti
(3^2)^4 = 3^8
Il quoziente di due potenze della stessa base la seconda con esponente minore di quello della prima è uguale a una potenza che ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Per elevare alla potenza un prodotto si può calcolare il prodotto delle potenze dei singoli fattori
(2^3 X 5)^2 = 2^6 x 5^2
per elevare a potenza un quoziente si può calcolare il quoziente e quindi la sua potenza oppure calcolare il quoziente delle potenze del dividendo e del divisore
(7:5)^3 = 7^3 :5^3
La potenza con esponente 0 di un numero qualunque diverso da 0 è uguale a 1
martedì 29 settembre 2015
storia della matematica
le origini dell'algebra
Il termine "algebra" deriva dall'arabo al-jabr, nome con cui il matematico al-Khuwarismi, che per primo lo usò indicava i passaggi da lui ideati per la soluzione di quelle particolari espressioni dette equazioni. In seguito il significato si allargò ulteriormente e oggi abbraccia un campo della matematica assai più vasto e vario.Al-khuwarismi era un matematico e astronomo arabo e attivo nella "casa della sapienza" centro culturale fondato dal califfo Al-Ma -Mun attorno al 850 a.C..
Questo studioso che in seguito sarebbe diventato famoso nell'Europa Occidentale scrisse vari libri di matematica, di geometria e di astronomia.
La sua aritmetica esponeva il sistema indiano di numerazione. L'opera originale sull'aritmetica è andata perduta ne è rimasta solo una traduzione latina del XII secolo con il titolo algoritmi sul calcolo numerico indiano. In quest'opera espone in maniera così chiara il nuovo sistema di numerazione indiano che si pensa sia stato questo il motivo per cui in Europa si diffuse l'errata convinzione che fossero stati gli arabi gli inventori del nostro sistema di numerazione.
L'opera più importante di questo matematico arabo fu però "la scienza della riduzione e del confronto". Questo testo da cui è derivato appunto il termine algebra ci è giunto a noi in due versioni araba e latina contiene una trattazione sulle equazioni lineari e quadratiche
Le sue opere svolsero un ruolo assai importante nella storia della matematica furono infatti una delle fonti principali in cui il sistema di numerazione e l'algebra entrarono in Europa Occidentale.
Vediamo ore una equazione di primo grado a un'incognita
5x+1=3(2x-1)
un'equazione si presenta in generale come un'uguaglianza in cui compaiono una o più incognite.
Essa è la traduzione numerica di un problema la cui soluzione consiste nel dare valore a x in modo che l'uguaglianza sia vera cioè trovare quel numero che sostituito a x rendono il primo termine uguale al secondo.
Ricordiamo il principio della riduzione dei termini e il trasporto da un membro all'altro di un termine con il segno cambiato.
ecco la soluzione
5x+1= 6x-3
aggiungendo -1 e togliendo 6x ad ambo i membri si ha
5x+1-1-6x = 6x-6x-1-3
ed eliminando i termini opposti otteniamo
5x-6x = -1-3
quindi -1x = -4
da cui si ricava che x= 4
lunedì 21 settembre 2015
l'abaco
Un problema costante per l'uomo è stato quello a sveltire i calcoli dapprima fu probabilmente nell'antica Babilonia che ci si accorse che, con l'aiuto di una tavoletta su cui potevano rimanere impressi dei segni si potevano eseguire in modo più corretto e veloce calcoli altrimenti troppo complicati e faticosi:
In seguito ma non si sa con esattezza né dove né come (forse nell'antico Egitto), venne inventato l'abaco che possiamo considerare la prima macchina calcolatrice costruita dall'uomo.
L'abaco è stato uno strumento ingegnoso che permise di eseguire operazioni sui numeri rappresentandoli con oggetti (es. sassolini, noccioli di frutta ecc.) introdotti in bastoncini fissati a un supporto . La radice del termine greco abax, abakos, che significa "tavoletta cospersa di polvere" per tracciarvi figure geometriche e fare calcoli, non è collegabile con altri figure geometriche e fare calcolo, non è collegabile con altri vocaboli della stessa lingua greca antica probabilmente dall'ebraico abaq, che significa "polvere" e comunque dai popoli del vicino Oriente.
I matematici dell'antica Grecia conoscevano le scoperte dei popoli mediterranei e seppero rielaborarle con apporti originali, ma i loro sforzi non ebbero un risvolto pratico. I progressi da essi compiuti nella matematica non servirono all'organizzazione materiale della società ma divennero un gioco dell'intelligenza.
E' risaputo a questo proposito , che anche le possibilità offerte dallo sviluppo della scienza e della tecnica non erano orientate a un'applicazione pratica, a un aumento della produttività del lavoro o alla liberazione dalla fatica del lavoro, ma erano solo espressione della capacità inventiva dell'intelligenza. Lo stesso pregiudizio influenzò anche la matematica.
Dobbiamo perciò ai maggiori algebristi indiani e arabi molte delle scoperte aritmetiche e algebriche di cui ci serviamo ancor oggi quotidianamente:
Chi introdusse in Italia, e quindi in Occidente, tali scoperte furono i ceti mercantili delle repubbliche marinare. Le conoscenze matematiche ebbero la loro massima diffusione dopo l'invenzione della carta e della stampae dopo la riforma protestante. Lo stesso Martin Lutero volle che, accanto alla Bibbia venissero stampati i primi libri di aritmetica. Gli algebristi indiani e poi arabi avevano scoperto i ventagi del sistema numerico posizionale e se ne servirono per semplificare i calcoli con grandi vantaggi per quelli classi sociali che si servivano dei calcoli per le loro attività mercantili e commerciali. IN particolare furono essi che diffusero l'abaco nel paesi dell'Occidente.
Ancor oggi questa semplice calcolatrice è usata per fare i conti da russi, cinesi e giapponesi, in bar, negozi, ristoranti ecc.
Da noi i bambini usano un adattamento particolare dell'abaco, il pallottoliere come giocattolo istruttivo per imparare i fondamenti dell'aritmetica divertendosi.
Naturalmente l'abaco costituito di fani mobili lungo asticelle non è che un tipo probabilmente inventato dai cinesi: Gli arabi ne inventarono invece anche di diversa costruzione per esempio uno ancor oggi usato costituito fondamentalmente da una specie di griglia.
In seguito ma non si sa con esattezza né dove né come (forse nell'antico Egitto), venne inventato l'abaco che possiamo considerare la prima macchina calcolatrice costruita dall'uomo.
L'abaco è stato uno strumento ingegnoso che permise di eseguire operazioni sui numeri rappresentandoli con oggetti (es. sassolini, noccioli di frutta ecc.) introdotti in bastoncini fissati a un supporto . La radice del termine greco abax, abakos, che significa "tavoletta cospersa di polvere" per tracciarvi figure geometriche e fare calcoli, non è collegabile con altri figure geometriche e fare calcolo, non è collegabile con altri vocaboli della stessa lingua greca antica probabilmente dall'ebraico abaq, che significa "polvere" e comunque dai popoli del vicino Oriente.
I matematici dell'antica Grecia conoscevano le scoperte dei popoli mediterranei e seppero rielaborarle con apporti originali, ma i loro sforzi non ebbero un risvolto pratico. I progressi da essi compiuti nella matematica non servirono all'organizzazione materiale della società ma divennero un gioco dell'intelligenza.
E' risaputo a questo proposito , che anche le possibilità offerte dallo sviluppo della scienza e della tecnica non erano orientate a un'applicazione pratica, a un aumento della produttività del lavoro o alla liberazione dalla fatica del lavoro, ma erano solo espressione della capacità inventiva dell'intelligenza. Lo stesso pregiudizio influenzò anche la matematica.
Dobbiamo perciò ai maggiori algebristi indiani e arabi molte delle scoperte aritmetiche e algebriche di cui ci serviamo ancor oggi quotidianamente:
Chi introdusse in Italia, e quindi in Occidente, tali scoperte furono i ceti mercantili delle repubbliche marinare. Le conoscenze matematiche ebbero la loro massima diffusione dopo l'invenzione della carta e della stampae dopo la riforma protestante. Lo stesso Martin Lutero volle che, accanto alla Bibbia venissero stampati i primi libri di aritmetica. Gli algebristi indiani e poi arabi avevano scoperto i ventagi del sistema numerico posizionale e se ne servirono per semplificare i calcoli con grandi vantaggi per quelli classi sociali che si servivano dei calcoli per le loro attività mercantili e commerciali. IN particolare furono essi che diffusero l'abaco nel paesi dell'Occidente.
Ancor oggi questa semplice calcolatrice è usata per fare i conti da russi, cinesi e giapponesi, in bar, negozi, ristoranti ecc.
Da noi i bambini usano un adattamento particolare dell'abaco, il pallottoliere come giocattolo istruttivo per imparare i fondamenti dell'aritmetica divertendosi.
Naturalmente l'abaco costituito di fani mobili lungo asticelle non è che un tipo probabilmente inventato dai cinesi: Gli arabi ne inventarono invece anche di diversa costruzione per esempio uno ancor oggi usato costituito fondamentalmente da una specie di griglia.
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