numeri relativi : proprietà dell'addizione

numeri relativi : proprietà dell'addizione

l'addizione  di più numeri relativi gode della proprietà commutativa e associativa dell'addizione aritmetica

proprietà commutativa - la somma di più numeri  relativi non cambia  comunque si muti l'ordine  degli addendi

55-7-12+8+ 16 = -12+5+8-7+16

proprietà associativa  - la somma di più numeri relativi non cambia se ad alcuni di essi si sostituisce la loro somma effettuata

-3+12-7+4-6

invece di operare secondo la definizione  possiamo ad esempio  sostituire gli addendi  +12 -17  e + 4  con la loro somma effettuata perciò ricordando l'uso delle parentesi  si può scrivere

-3+12-17+4 -6 = -3+(12-17+4)-6

la proprietà associativa  può essere espressa  mediante la seguente regola pratica

in una somma di più numeri relativi  si può racchiudere tra parentesi preceduta dal segno +  un numero qualunque di addendi  scrivendo questi numeri con gli stessi segni che hanno nella somma data

OSSERVAZIONE
i numeri che sostituiscono la somma effettuata no devono necessariamente occupare posizioni consecutive  perché mediante la proprietà commutativa si possono sempre ordinare in posizioni  consecutive prima di sostituirli con la somma effettuata

proprietà dissociativa - la somma di più numeri relativi non cambia se ad uno di essi si sostituiscono  più numeri relativi  la cui somma sia eguale al numero soppresso

-7+ (8-5+2) = -7+8-5+2

si può anche dire che per aggiungere a un numero una somma si può aggiungere a quel numero  ciascun addendo alla somma

da qui si deduce una regola pratica

quando davanti ad una parentesi  che racchiude una somma vi è il segno +  si può togliere la partentesi sopprimendo il segno +  che a precede e lasciando  inalterato i segni dei suoi addendi 

usando la proprietà commutativa si possono  sommare tra loro  separatamente i numeri positivi e quelli negativi e poi si sommano i due numeri relativi ottenuti

numeri relativi : addizione

l'addizione con i numeri relativi si indica ponendo il segno + fra i numeri relativi chiusi entro una parentesi con il proprio segno

esempio

(+7)+(-15)+(+10)+(-4)

la somma di due numeri relativi è definita dalle definizioni

I   la somma di due numeri relativi dello stesso segno  è il numero relativo che ha lo setto segno degli addendi e per valore assoluto la somma di loro valori assoluti

esempi

(+7)+(+15) = +22

(-8)+ (-6) = -14

questa regola è evidente se pensiamo a numeri positivi come crediti e i numeri relativi come debiti

II   la somma di due numeri relativi di segno contrario  è il numero relativo che ha il segno  dell'addendo  in valore assoluto maggiore  e per valore assoluto la differenza dei valori assoluti dei numeri dati

esempi

(+10) + (-7) = +3
(+15 ) +(-20) = - 5

II  la somma di due numeri opposti è 0

esempi

(+7) + (-7) = 0
(-10) + (+10) = 0

IV la somma di un numero relativo  e di zero è uguale al primo numero

esempio
(+3)+ 0 = +3

V   la somma di più numeri relativi in un dato ordine è il numero relativo che si ottiene aggiungendo al primo  il secondo alla somma ottenuta il terzo  e così via

esempio

(+3) + (-10) + (-6) + (+15) + (-7) =
(-7) + (-6) + (+15)+(-7)=
(-13) + (+15) +(-7) =
(+2 )+ (-7) = -5

se uno o più numeri sono frazioni  si riducono i valori assoluti al minimo comune denominatore  e si sommano  i numeri frazionari applicando  le regole precedenti

numeri relativi - addizione

confronto di numeri relativi

Due numeri relativi sono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto 

sono uguali per esempio

+5   e   +(3+2)

vediamo ora come si possono confrontare  due numeri relativi  cioè riconoscere  dati due numeri relativi se l'uno  è maggiore o minore dell'altro.
Si giunge  a ciò facilmente  interpretando  i numeri positivi come crediti e numeri  negativi come debiti.
Se un tale ha un credito di 5 euro  possiede di più di chi non ha nulla  ed un tizio che non ha nulla si trova in condizioni  migliore di chi ha un debito di 10 euro

5>0    e    0>di -10

Più generalmente

Ogni numero positivo è maggiore di zero e ogni numero negativo è minore di 0

Se poi un tale ha un credito di 15 euro  possiede di più di chi ne ha uno di 10 euro  mentre un tale che ha un debito di 20 euro  si trova in condizioni migliori di  chi ha un debito di 50 ero quindi

+15 > +10               -20 > -50

più generalmente

di due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore e di due numeri negativi ha valore maggiore quello che ha il valore assoluto minore

Risulta evidente che chi ha un credito di 30 ha di più di chi a un debito di venti

+ 30 > - 20 

più generalmente  ogni numero positivo è maggiore di un numero negativo

DATI DUE NUMERI  RELATIVI QUALUNQUE  IL MAGGIORE DI ESSI E' QUELLO CHE SULLA RETTA  HA PER IMMAGINE UN PUNTO  SITUATO PIU' A DESTRA DELL'IMMAGINE DELL'ALTRO

rappresentazione dei numeri relativi

data una retta ed un punto 0 detto origine  osservate  che un punto può percorrere  tale retta in due versi  opposti chiameremo  verso positivo  cioè quello che va da sinistra a destra e verso negativo l'opposto
una retta r su cui si a fissato  il verso positivo si chiama retta orientata dove u è l'unità di misura
se poi si vuole rappresentare un numero  frazionario positivo 3/4 basta dividere l'unità in 4 e  considerare 3 parti i punti segnati su una retta si chiamano immagini dei numeri relativi

 

numeri relativi - valore assoluto

Il valore assoluto  o il modulo di numero relativo  è il numero assoluto che si ottiene da esso sopprimendone il segno
cosi i valori assoluti di

+5     -3      + 1,5

sono 5   3     1,5

due numeri relativi aventi lo stesso segno si dicono concordi

- 3  -5


 si dicono discordi se hanno segno diverso

-3    +5

se poi hanno lo stesso valore assoluto ma segni diversi si dicono opposti

-3      +3

si conviene che l'unico numero  uguale al suo opposto sia lo zero

-0 = +0 = 0

numeri relativi

E' a noi noto il significato di misura di una grandezza se ad esempio vi dico che un blocco di marmo pesa kg 7 o che un recipiente alla capacità di 3 litri  i numeri 3 re 7 sono le misure delle due grandezze  considerate la prima rispetto al kg  e la seconda rispetto al litro

può esservi invece incertezza se dico che un certo giorno  la temperatura  è stata di 2 gradi centigradi  perché la temperatura può essere al di sopra o al disotto dello 0 che è la temperatura  del ghiaccio fondente; così se vi dico che il celebre matematico Archimede è nato  ne 287 rimanete indecisi se prima o dopo Cristo

Vi sono delle grandezze che possono variare in due versi  opposti sorge quindi la necessità  di  esprimere la misura di queste grandezze in modo da evitare incertezze
a tale scopo  si è convenuto di far precedere il numero che esprime  la misura di una di tali grandezze dal segno + o dal segno -

Si conviene ad esempio con +2 una temperatura al di sopra dello zero e - 2 una temperatura al disotto dello 0
Similmente per indicare che si ha un credito  di 100 euro  scriveremo + 100 euro  per indicare un debito di 500 euro scriveremo - 500 euro
se conveniamo  di indicare con 0 i punti  che si trovano sul livello del mare la misura del vertice del monte Bianco si indicherà con + 4800 metri mentre la misura del punto più profondo del Mediterraneo si indicherà con -4400 metri
si è così introdotto un nuovo insieme di numeri  come

+2 -100  +4800

questi numeri che sono preceduti dal segno + o - sono numeri relativi chiameremo assoluti i numeri  interi e frazionari senza segno

I numeri relativi  preceduti dal segno + si dicono numeri positivi così sono positivi

+54   + 1,5

sono negativi i segni preceduti dal segno -

-4  -5,6