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mercoledì 7 giugno 2017

geometria - gli insiemi

geometria - gli insiemi

Nella matematica si usa il vocabolo insieme per indicare un qualunque raggruppamento di enti comunque scelti. Ad esempio si parla dell'insieme dei numeri naturali, dell'insieme dei  triangoli , dell'insieme dei punti di un cerchio, dell'insieme dei vertici di un poligono.
Gli enti che, nel loro complesso formano  un insieme si dicono  elementi di quell'insieme.
Un insieme si dice finito se l'elenco  dei suoi insiemi ha un termine, infinito in caso contrario. Ad esempio  è finito l'insieme dei vertici di un poligono mentre è infinito  l'insieme dei triangoli.
Un insieme  finito può venire indicato  racchiudendo tra i due segni di parentesi graffa gli elementi che lo contengono

A = {1,3,5}

Noi intendiamo significare che un insieme  A  ha per elementi  i primi tre numeri naturali dispari.

Fra gli insiemi  si considera anche quello privo di elementi  o insieme vuoto  che viene indicato con il simbolo
Ø 
Ad esempio è vuoto un insieme di triangoli aventi due angoli retto oppure l'insieme dei punti comuni a due circonferenze concentriche di raggio diverso.

Se consideriamo  l'insieme T dei triangoli  e l'insieme P dei poligoni ci accorgiamo che si verifica una situazione particolare: poiché ogni triangolo è pure un poligono si ha che ogni elemento di T è anche elemento di P. Si dice che T è sottoinsieme di P ovvero T è incluso in P.

In generale un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B se ogni elemento di A è pure elemento di B. Ad esempio  l'insieme 
{2,4} è incluso  nell'insieme {2,4,6,8}l'insieme delle lettere della parola RAMO  è  sottoinsieme delle lettere della parola AMORE.
 
 

 

martedì 6 giugno 2017

geometria - postulati o assiomi

geometria - postulati o assiomi

Abbiamo visto che per definire un ente geometrico occorre far riferimento ad altri enti precedentemente introdotti  che, a loro volta. possono essere definiti solo facendo ricorso ad altri fi modo che di concetto in concetto si deve necessariamente risalire a concetti primitivi.
In modo del tutto analogo, per dimostrare  una data proprietà  ci si deve riferire ad altre proprietà precedentemente  dimostrate che a loro volta dipendono da altre.
Si viene così a costruire  con un procedimento a ritroso una successione di proprietà che non può chiaramente estendersi all'infinito  Per cui è necessario che alcune proprietà iniziali  vengano introdotte senza darne una dimostrazione.
tali proprietà primitive vengono chiamati postulati o assiomi.
I postulati esprimono le prime proprietà dei rami della geometria e generalmente forniscono notizie riguardanti gli enti primitivi. Ad esempio noi dopo aver introdotto la retta come concetto primitivo  ammetteremo che dati due punti A e B  esiste una e una sola retta che li contiene entrambi .
Tale proposizione è chiaramente indimostrabile dato che non solo non conosciamo  alcun'altra proprietà delle rette alla quale appoggiare un qualunque ragionamento in merito ma addirittura ignoriamo per mancanza di definizione cosa siano effettivamente i punti e le rette.
Si osservi a tal proposito  che il discorso geometrico ha grossolanamente un inizio  del tipo seguente : noi intendiamo trattare di certi enti xyz di cui non diamo nessuna definizione  ma dei quali precisiamo che godono delle proprietà abc . E' ovvio che non ha alcun senso  il cercare di dimostrare tale proprietà (postulati). e ciò non solo per  l'insistenza di proprietà precedenti cui appoggiare il ragionamento ma soprattutto  perché i postulati esprimono certe caratteristiche soggettivamente attribuite ad enti di natura imprecisata.
Per esempio se dicessimo :"noi vogliamo  ragionare su certi oggetti che supponiamo siano solidi di color rosso elettrizzati positivamente ecc.2 che significato avrebbe dimostrare che il colore di questi oggetti è rosso perché la scelta del colore è casuale.

Da quanto esposto  dovrebbe risultare chiaro che  i postulati  fornendo una serie di precisazioni circa gli enti primitivi li delimitano e li caratterizzano togliendo  loro buona parte di quella arbitrarietà che sembrava assoluta allorché  essi erano stati introdotti. Si può asserire che i postulati danno una definizione implicita degli enti primitivi

geometria - i teoremi inversi

geometria - i teoremi inversi

Consideriamo l'implicazione logica espressa nel proverbio "chi dorme non piglia pesci".
Dall'ipotesi  una persona dorme  discende la tesi non piglia pesci.
Proviamo a rovesciare il discorso  cioè a scambiare l'ipotesi con la tesi. Me viene fuori l'implicazione inversa  chi non piglia pesci  dorme ma questo non è esatto non tutti quelli che non pigliano pesci stanno dormendo.

Mentre se prendiamo  il teorema " se due corde di un cerchio sono uguali esse hanno uguali distanze dal centro ".
Scambiando l'ipotesi con la tesi  si ottiene il teorema inverso  se due corde di un cerchio hanno uguali distanze dal centro sono uguali  infatti anche questo teorema è vero.

Quando due teoremi uno inverso dell'altro  sono entrambi veri si conviene enunciarli insieme  facendo precedere l'enunciato di uno solo  di essi dalla locazione condizione necessaria e sufficiente.
Non sempre per un teorema diretto ne esiste uno inverso.

lunedì 5 giugno 2017

geometria - i corollari

geometria - i corollari

in certi casi accade che, una volta dimostrato un teorema da questo conseguano  altri teoremi in modo tanto immediato che le relative dimostrazioni possono essere del tutto omesse  o appena accennate. tali proposizioni, che  sono immediate  conseguenze di un precedente teorema sono dette suoi corollari.
Ad esempio  una volta dimostrato il teorema: "in un triangolo ad angolo maggiore corrisponde il lato maggior" di può subito dedurre il corollario: "l'ipotenusa di un triangolo rettangolo  è maggiore di ciascuno dei due cateti".
si può ricordare che  essendo retto l'angolo opposto all'ipotenusa  esso è maggiore  degli angoli opposti ai cateti che sono acuti.

Si noti che è piuttosto soggettivo  lo stabilire se un teorema è conseguenza più o meno ovvia di un'altra preposizione ammessa in precedenza. Per questo motivo la distinzione tra teoremi  veri e propri e corollari non riveste grande importanza logica ed è lasciata al giudizio di chi espone una teoria matematica.
Certe proprietà degli enti geometrici sono espresse da proporzioni non dimostrabili che chiameremo postulati o assiomi. Anche da tali proprietà  discendono conseguenze  del tutto immediate.
Esse pure vengono dette corollari.

geometria - i teoremi

geometria - i teoremi

"riscaldando un corpo solido si dilata"

Il prodursi del primo fatto implica il verificarsi del secondo. Per questo motivo questa frase prende il nome di implicazioni  logiche o semplicemente implicazioni.
La prima delle situazioni considerate si chiama ipotesi. La seconda si dice tesi.
L'ipotesi riscaldo un corpo solido
la tesi  il corpo si dilata.
Nelle implicazioni logiche di tipo matematico la dipendenza della tesi  dalla relativa ipotesi non viene accettata perché  la cosa è evidente  o perché l'esperienza  ripetuta  ci prova che tale dipendenza effettivamente sussiste, bensì  in virtù di un preciso ragionamento che viene detto dimostrazione.

Le implicazioni  logiche che possono essere provate mediante una dimostrazione si chiamano teoremi.
In un teorema la proposizione che si intende  dimostrare viene detta enunciato del teorema stesso.

i concetti primitivi - geometria

i concetti primitivi - geometria

Vogliamo  ora mostrare come non sia possibile definire tutti i concetti che figurano in una data materia. In particolare ci interessa chiarire la definizione di tutti i concetti geometrici.
Quindi per definire un quadrato dobbiamo conoscere  i concetti di angolo  lato uguaglianza. Di conseguenza  prima di parlare del quadrato dobbiamo  precisare che " un quadrilatero è un poligono che ha quattro vertici " che "un suo lato è il segmento che per estremi  due vertici consecutivi" ecc.

Ma anche queste definizioni presuppongono  la conoscenza di altri  termini geometrici (poligono vertice segmento)  i quali pure possono essere introdotti solo mediante  l'ausilio  di altri enti che, a loro volta, sono definibili facendo riferimento a concetti precedentemente  considerati.
Tale procedimento  a ritroso col quale stabiliamo un possibile ordine secondo cui vanno introdotti  e definiti  i diversi termini  del discorso geometrico  non può evidentemente continuare all'infinito.
In altre parole è necessario che di alcuni concetti (detti concetti o enti primitivi) non venga data alcuna definizione,.
Essi costituiranno la base su cui costruire altre definizioni.

domenica 4 giugno 2017

definizioni in geometria

definizioni in geometria

Una definizione è una frase nella quale si spiega qual è la natura di un certo ente e si attribuisce  ad esso il nome che lo contraddistingue.
La definizione chiarisce qual è il significato dell'ente preso in esame  utilizzando  la conoscenza di altri enti (o concetti o cose).
Così per spiegare che cos'è il vento?  possiamo dire che  un movimento di masse d'aria  dovuto a diverso riscaldamento delle diverse zone della terra.
che cos'è il quadrato ?  un quadrato è un quadrilatero  con i lati uguali e gli angoli uguali.

per spiegare che cos'è il vento abbiamo supposto che il lettore fosse a conoscenza dei vocaboli movimento, masse, aria, riscaldamento, Terra. Allo stesso modo  la definizione che abbiamo dato del quadrato è intellegibile solo se sono noti i concetti di quadrilatero, lato angolo, uguaglianza.