la geometria

 La geometria 

La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (da ghe = terra e metron = misura) Il senso etimologico della parola geometria è da ricercarsi nell'origine stessa di questa scienza che nacque, appunto dall'esigenza di popoli antichissimi (Assiri, Babilonesi......) di stabilire rudimentali regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.

Nono vi è, però, una testimonianza storica assolutamente certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.

Possiamo, invece, affermare che gli Egiziani possedevano alcuni elementi di questa materia.

Lo documentano diversi papiri e, in particolare il cosiddetto papiro di Rhid (della lunghezza di circa 20 metri e che si conserva nel British Museum di Londra) nel quale è contenuto il libro di calcolo di Ahmes, così chiamato dal nome dello scriba che, sedici secoli avanti Cristo trascrisse - forse non senza errori - un testo che già aveva alcuni secoli di vita. IN esso sono riportate regole per la misura dei campi quadrangolari e triangolari, nonché elementi di calcolo con le frazioni e accorgimenti pratici per la misura di certi solidi. 

Del resto, notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi chi provengono anche da Erodoto( v secolo a.C.) e da Proclo (IV secolo a.C.). Quest'ultimo che è considerato il più autorevole storico delle antiche matematiche così scrive :Seguendo la tradizione generale diremo che gli Egiziani furono i primi inventori della geometria e che essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare a causa delle inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà.

Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare e precisamente sapevano che in un triangolo con i lati lunghi 3,4 e 5 volte una certa unità di misura è rettangolo.

Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con funi e picchetti, un triangolo di tale tipo. In questo modo disegnavano angoli retti che servivano loro come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e dei templi. Ciò conferma il pensiero di Proclo, secondo il quale la geometria egiziana aveva solo un carattere pratico ed utilitario.

Solo più tardi, nell'antica Grecia, la geometria si sviluppò come scienza pura e venne studiata in modo autonomo, prescindendo, per lo più dai problemi pratici. I Greci riorganizzarono l'intero edificio geometrico passando, per primi, da una esposizione frammentaria ad trattazione rigorosa. L'opera fondamentale è costruita dagli Elementi di Euclide.  Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo a.C. sono state, per oltre venti secoli, un vero e proprio modello per tutti gli studiosi.

Proprio per la preminente importanza dell'opera di Euclide dividiamo la nostra breve storia della geometria antica in due periodi : 

PRE-UCLIDEO

UCLIDEO

Il periodo pre-uclideo va dal VI al III secolo a.C.; ossia da quando i Greci iniziarono con l'Oriente, e specialmente con l'Egitto, un attivo scambio di commerci e di idee, a quando comparve nel mondo greco la grande figura di Euclide.

E' per questo un periodo di transizione che precede l'inizio della vera e propria geometria razionale. I Greci maturarono, in questi secoli, le nozioni empiriche e sperimentali apprese dagli Egiziani, attraverso un travaglio di ricerca spesso disordinato e frammentario. Il nuovo fermento intellettuale fu guidato da motivi diversi, e, talvolta, contrastanti fra loro: sia di natura religiosa che filosofica, sia dovuti a necessità  pratiche che  a pura curiosità di indagine. Fu, cioè, uno studio nono sempre scientificamente coerente : logica espressione di una civiltà ancora giovane.

Gli storici concordano nell'iniziare questo periodo con Talete (VI secolo a.C.). Egli passò parte della sua giovinezza in Egitto dove si era recato per ragioni commerciali. Ivi assimilò la cultura di quella antica e progredita civiltà e apprese, in particolare, alcune nozioni  geometriche ed astronomiche.

Tornato in patria divenne capo della scuola jonica. Proseguendo nei suoi studi di astronomia, giunse a predire la data di una eclisse di sole. Proprio di quella eclisse che indusse gli eserciti della Media e della Lidia, già schierati a battaglia, a deporre le armi e a iniziare trattative di pace, non volendo essi - per antica tradizione - combattere in assenza della luce del sole. Questa predizione lo rese famoso in tutto il mondo ellenico, così da farlo annoverare fra i sette saggi della Grecia.

La feconda, originale intuizione di Talete si può dedurre da questo episodio che a lui  viene attribuito. Avendogli domandato un sacerdote egizio quale potesse essere l'altezza di un obelisco, egli non si contentò di misurarla ad occhio; si sdraiò sul terreno e vi determinò  la lunghezza della sua persona, poi si pose in piedi alla estremità del segmento cosi tracciato ed attese che la sua ombra divenisse lunga come quel segmento.

Nello stesso momento anche l'altezza dell'obelisco uguagliava la lunghezza della sua ombre e misurando quest'ultima egli ottenne con esattezza l'altezza del monumento.

Sembra anche certo che Talete sia riuscito a determinare la distanza delle navi dal porto mediante semplici confronti di triangoli.

Molti storici attribuiscono a Talete la scoperta e la dimostrazione di alcune proprietà geometriche, come l'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele e degli angoli opposti al vertice, le condizioni di parallelismo di due rette e l'essere uguale a due angoli retti la somma degli angoli di un triangolo .

Talete scoprì anche che qualsiasi angolo inscritto in un semicerchio (cioè con il vertice sulla semicirconferenza e con i lati passanti per gli angoli estremi del diametro) è un angolo retto. Dante ricorda questo teorema nel paradiso 

O se del mezzo cerchio far si puote

Triangol sì ch'un retto non avesse

Tale proprietà fu poi largamente sfruttata. E' in virtù di essa che in un teatro semi circolare tutti gli spettatori vedono la scena sotto uno stesso angolo.

Il nome Talete è però legato più che alle sue ricerche di geometria al fatto che per primo osò indagare sull'origine fisica dell'universo. Egli fu il primo filosofo dell'umanità.

A Talete seguì Pitagora (V secolo a.C.) suo discepolo. E' certo che Pitagora visitò l'Egitto. Pare che sia stato anche a Babilonia, a Persepoli, per finire in India.

In Egitto apprese tutte le cognizioni di quella antica civiltà  in età avanzata si portò nell'Italia meridionale dove, a Crotone, fondò la scuola Italica, misteriosa setta di carattere scientifico, politico e religioso.

Ecco cosa Proclo dice di lui : Pitagora trasformò lo studio della geometria e ne fece un insegnamento più razionale, risalendo ai principi generali e studiando i teoremi astrattamente, e con pura intelligenza; è a lui che si deve la scoperta dei numeri irrazionali e la costruzione delle figure cosmiche.

Figure cosmiche erano detti anche i cinque poliedri regolari cioè il tetraedro, il cubo o esaedro, l'ottaedro. il dodecaedro e l'icosaedro. Erano chiamate cosmiche perché, secondo l'antica ipotesi cosmologica, gli elementi consisterebbero di particelle piccolissime : tetraedri per il fuoco, ottaedri per l'aria, icosaedri per l'acqua e cubi per l'elemento terra.

Il dodecaedro serviva come modello dell'universo.

Anche oggi  noi distinguiamo le varie sostanze chimiche in base al numero e al tipo di atomi che costituiscono le molecole.

Fu possibile ai pitagorici costruire il dodecaedro regolare con facce pentagonali, perché essi per primi seppero  inscrivere il pentagono regolare in un cerchio. Diviso il cerchio in cinque parti uguali e congiunti i punti di divisione alternativamente, ottennero la stella a cinque punte, che fu simbolo della scuola pitagorica.

La scoperta più importante fu il teorema sul rettangolo rettangolo che porta il suo nome.

Ricordiamo  Socrate (prima metà del IV secolo a.C.) per avere egli insegnato il metodo induttivo atto a sviluppare la facoltà del raziocinio, scopo prime dello studio della geometria.

A Socrate dobbiamo  il principio della definizione, ossia della determinazione dei concetti base di ogni scienza e in particolare della geometria.

Allievo di Socrate fu Platone(IV secolo  a.C.) Figlio di nobile e ricca famiglia ebbe la possibilità di compiere profondi studi ed istruttivi viaggi.

Si portò in Egitto e nella  Magna Grecia, dove frequentò le scuole che fiorivano in quei paesi.

Ritornato in patria, occupò la cattedra nel Ginnasio di Accademio fondandovi la famosa Accademia.

Eudosso da Cnido (prima metà del IV secolo a.C.) costruì una teoria generale delle proporzioni fra grandezze, la quale fu poi riportata negli Elementi di Euclide, costituendo, di quest'opera, una delle parti più interessanti per la sua struttura logica e per il contributo che dette alle successive conquiste della matematica. Egli intuì e propose nuovi metodi di indagine che solo molti secoli dopo trovarono un assetto definitivo. Eudosso, con il suo procedimento, confermò i risultati trovati da Democrito per al determinazione del volume della piramide.

Infine Aristotele (IV secolo a.C.) il più celebre fra i filosofi dell'Accademia il maestro di coloro che sanno come lo definì Dante, vero intelletto enciclopedico,

Contribuì al progresso delle scienze e in particolare della geometria. Fu precettore di Alessandro e fondò la scuola peripatetica.

Il periodo euclideo 

Della vita di Euclide poco si conosce. Si sa che visse intorno  al 300 a.C. e che trascorse buona parte della sua esistenza in Alessandria d'Egitto ove fondò una scuola di matematica una via fatta apposta per i re.

Euclide scrisse i famosi Elementi, opera grandiosa che si compone di tredici libri. In essa le conoscenze geometriche furono esposte per la prima volta, in modo logico  e organico  con una nuova coordinazione dei primi conetti geometrici sistemati secondo uno schema coerenti. Il volume fu uno dei più riprodotti.

Il pensiero matematico moderno ha proposto impostazioni parzialmente difformi da quelle suggerite da Euclide, ma ciò non toglie il valore della sua opera. Sembra anzi incredibile che un testo scientifico sia rimasto valido per oltre duemila anni.

Archimede fu il maggior genio scientifico dell'antichità anche se la sua opera lasciò un'impronta meno profonda di Euclide. Egli espose metodi e teorie che molti secoli dopo, nel Rinascimento dovevano servire da guida agli ulteriori sviluppi della scienza. Armonizzò il culto dell'indagine scientifica pura con la realizzazione di geniali applicazioni pratiche. Il suo nome è legato alla scoperta di importanti leggi della fisica e dell'invenzione di macchine belliche per difendere la sua città dall'assedio dei Romani

i fondamenti della geometria

i fondamenti della geometria

Geometria intuitiva e geometria razionale

La geometria intuitiva ( cioè la geometria studiata col metodo intuitivo) cerca di stabilire le proprietà dei corpi e delle figure  in base alla esperienza che ce ne dànno  i nostri sensi,  cioè in base all'osservazione attenta di corpi aventi forme particolari  e di figure aventi  certe caratteristiche. Da queste osservazioni sperimentali  la geometria deriva le regole  e le definizioni come generalizzazione suggerita dall'intuizione delle proprietà osservate.

La geometria razionale (cioè studiata con il metodo razionale)  si riferisce invece a  figure ideali che sono delle pure e semplici astrazioni della mente. Di esse  noi troviamo nella realtà fisica delle imitazioni grossolane e approssimate.
Le proprietà di queste figure  non vengono stabilite in base all'esperienza ma sono in virtù di  precisi ragionamenti che trascurano  tutto ciò  che in particolare ha la figura presa in esame e si basano soltanto sulle sue proprietà generali. In tal modo il ragionamento assume un carattere  universale. Cioè  senza possibilità di errore tanto  per quella figura quanto per tutte le altre che godono delle stesse proprietà.

origini della geometria

origini della geometria

La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (Ghe = terra e metron =misura) .
Nacque per esigenza nell'antichità di stabilire regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.
Non vi è  però una testimonianza certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.
Possiamo affermare con sicurezza che  gli antichi Egiziani possedevano  alcuni elementi di questa materia.
Lo documentano  diversi papiri e in particolare il papiro di  Rgind ( della lunghezza di circa 20 metri  e che si conserva nel British Museum di Londra ( nel quale  è contenuto  il libro di calcolo di Ahmes così chiamato lo scriba  che trascrisse  un teso  che già  aveva alcuni secoli di vita. In esso  sono riportate le regole per la misura di campi quadrangolari e triangolari  nonché elementi del calcolo con le frazioni e misure di certi solidi.
Notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi  ci provengono  da Erodoto  e da Proclo.
Quest'ultimo è considerato  il più autorevole storico delle antiche  matematiche così scrive : "seguendo la tradizione  generale diremo  che gli Egiziani  furono i primi inventori della geometria  e che essa nacque  dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare per le inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà".
Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare  e precisamente sapevano che un triangolo con i lati lunghi  3, 4 , 5 volte  una certa unità di misura è rettangolo.
Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con corde e picchetti un triangolo di tale tipo in questo modo  disegnavano angoli retti che  servivano come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e templi.
Ciò conferma il pensiero di Proclo  secondo cui la geometria egiziana aveva solo carattere pratico.

Solo più tardi nell'antica Grecia  la geometria si sviluppò come scienza pura e venne  studiata in modo autonomo prescindendo dai problemi pratici. I greci riorganizzarono  l'intero edificio geometrico  passando per primi  da una esposizione frammentaria ad una rigorosa. L'opera fondamentale  è costruita  dagli elementi di Euclide.
Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo  a.C. sono state  per oltre venti secoli un vero e proprio modello per tutti  gli studiosi.
Proprio per l'importanza dell'opera di Euclide dividiamo la storia in due periodi: pre-euclideo  e euclideo.