confronto di numeri relativi

Due numeri relativi sono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto 

sono uguali per esempio

+5   e   +(3+2)

vediamo ora come si possono confrontare  due numeri relativi  cioè riconoscere  dati due numeri relativi se l'uno  è maggiore o minore dell'altro.
Si giunge  a ciò facilmente  interpretando  i numeri positivi come crediti e numeri  negativi come debiti.
Se un tale ha un credito di 5 euro  possiede di più di chi non ha nulla  ed un tizio che non ha nulla si trova in condizioni  migliore di chi ha un debito di 10 euro

5>0    e    0>di -10

Più generalmente

Ogni numero positivo è maggiore di zero e ogni numero negativo è minore di 0

Se poi un tale ha un credito di 15 euro  possiede di più di chi ne ha uno di 10 euro  mentre un tale che ha un debito di 20 euro  si trova in condizioni migliori di  chi ha un debito di 50 ero quindi

+15 > +10               -20 > -50

più generalmente

di due numeri positivi è maggiore quello che ha il valore assoluto maggiore e di due numeri negativi ha valore maggiore quello che ha il valore assoluto minore

Risulta evidente che chi ha un credito di 30 ha di più di chi a un debito di venti

+ 30 > - 20 

più generalmente  ogni numero positivo è maggiore di un numero negativo

DATI DUE NUMERI  RELATIVI QUALUNQUE  IL MAGGIORE DI ESSI E' QUELLO CHE SULLA RETTA  HA PER IMMAGINE UN PUNTO  SITUATO PIU' A DESTRA DELL'IMMAGINE DELL'ALTRO

rappresentazione dei numeri relativi

data una retta ed un punto 0 detto origine  osservate  che un punto può percorrere  tale retta in due versi  opposti chiameremo  verso positivo  cioè quello che va da sinistra a destra e verso negativo l'opposto
una retta r su cui si a fissato  il verso positivo si chiama retta orientata dove u è l'unità di misura
se poi si vuole rappresentare un numero  frazionario positivo 3/4 basta dividere l'unità in 4 e  considerare 3 parti i punti segnati su una retta si chiamano immagini dei numeri relativi

 

numeri relativi - valore assoluto

Il valore assoluto  o il modulo di numero relativo  è il numero assoluto che si ottiene da esso sopprimendone il segno
cosi i valori assoluti di

+5     -3      + 1,5

sono 5   3     1,5

due numeri relativi aventi lo stesso segno si dicono concordi

- 3  -5


 si dicono discordi se hanno segno diverso

-3    +5

se poi hanno lo stesso valore assoluto ma segni diversi si dicono opposti

-3      +3

si conviene che l'unico numero  uguale al suo opposto sia lo zero

-0 = +0 = 0

numeri relativi

E' a noi noto il significato di misura di una grandezza se ad esempio vi dico che un blocco di marmo pesa kg 7 o che un recipiente alla capacità di 3 litri  i numeri 3 re 7 sono le misure delle due grandezze  considerate la prima rispetto al kg  e la seconda rispetto al litro

può esservi invece incertezza se dico che un certo giorno  la temperatura  è stata di 2 gradi centigradi  perché la temperatura può essere al di sopra o al disotto dello 0 che è la temperatura  del ghiaccio fondente; così se vi dico che il celebre matematico Archimede è nato  ne 287 rimanete indecisi se prima o dopo Cristo

Vi sono delle grandezze che possono variare in due versi  opposti sorge quindi la necessità  di  esprimere la misura di queste grandezze in modo da evitare incertezze
a tale scopo  si è convenuto di far precedere il numero che esprime  la misura di una di tali grandezze dal segno + o dal segno -

Si conviene ad esempio con +2 una temperatura al di sopra dello zero e - 2 una temperatura al disotto dello 0
Similmente per indicare che si ha un credito  di 100 euro  scriveremo + 100 euro  per indicare un debito di 500 euro scriveremo - 500 euro
se conveniamo  di indicare con 0 i punti  che si trovano sul livello del mare la misura del vertice del monte Bianco si indicherà con + 4800 metri mentre la misura del punto più profondo del Mediterraneo si indicherà con -4400 metri
si è così introdotto un nuovo insieme di numeri  come

+2 -100  +4800

questi numeri che sono preceduti dal segno + o - sono numeri relativi chiameremo assoluti i numeri  interi e frazionari senza segno

I numeri relativi  preceduti dal segno + si dicono numeri positivi così sono positivi

+54   + 1,5

sono negativi i segni preceduti dal segno -

-4  -5,6

le potenze

- si dice potenza di un numero un prodotto di più fattori  tutti uguali  a quel numero 
Il fattore che si deve ripetere si dice base  quanti sono i fattori si dice esponente o grado di potenza

L'elevamento a potenza è una legge di composizione interna per l'insieme dei numeri naturali.

proprietà  delle potenze

- il prodotto di più potenze di egual base è una potenza che ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

5^2 x 5^4 = 5^6

La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

(3^2)^4 = 3^8

Il quoziente di due potenze della stessa base la seconda con esponente minore di quello della prima  è uguale a una potenza che ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Per elevare alla potenza un prodotto  si può calcolare il prodotto  delle potenze dei singoli fattori

(2^3 X 5)^2 = 2^6 x 5^2

per elevare a potenza un quoziente si può calcolare  il quoziente e quindi la sua potenza oppure  calcolare il quoziente  delle potenze del dividendo e del divisore

(7:5)^3 = 7^3 :5^3

La potenza con esponente 0  di un numero qualunque diverso da 0  è uguale a 1

storia della matematica

le origini dell'algebra

Il termine  "algebra" deriva dall'arabo al-jabr, nome con cui il matematico al-Khuwarismi, che per primo lo usò  indicava i passaggi  da lui ideati per la soluzione di quelle particolari espressioni dette equazioni. In seguito  il significato si allargò  ulteriormente e oggi abbraccia un campo della matematica assai più vasto e vario.
Al-khuwarismi  era un matematico e astronomo arabo  e attivo nella "casa della sapienza"  centro culturale  fondato dal califfo Al-Ma -Mun attorno al 850 a.C..
Questo studioso  che in seguito sarebbe diventato famoso nell'Europa Occidentale scrisse vari libri  di matematica, di geometria  e di astronomia.
La sua aritmetica esponeva il sistema indiano di numerazione. L'opera originale sull'aritmetica  è andata perduta ne è rimasta solo una traduzione latina  del XII secolo  con il titolo algoritmi sul calcolo numerico indiano. In quest'opera espone in maniera così chiara  il nuovo sistema di numerazione  indiano  che si pensa sia stato  questo il motivo per cui in Europa si diffuse l'errata convinzione  che fossero stati gli arabi gli inventori del nostro sistema di numerazione.
L'opera più importante di questo matematico arabo fu però "la scienza della riduzione e del confronto". Questo testo da cui è derivato appunto il termine algebra ci è giunto a noi  in due versioni araba e latina  contiene una trattazione  sulle equazioni lineari  e quadratiche
Le sue opere svolsero un ruolo assai importante nella storia della matematica  furono infatti una delle fonti principali in cui il sistema di numerazione e l'algebra entrarono in Europa Occidentale.

Vediamo ore una equazione  di primo grado a un'incognita

5x+1=3(2x-1)

un'equazione si presenta  in generale come un'uguaglianza  in cui compaiono  una o più incognite.
Essa è la traduzione numerica di un problema  la cui soluzione consiste nel dare valore a x in modo che l'uguaglianza sia vera cioè trovare quel numero che sostituito a x rendono il primo  termine uguale al secondo.
Ricordiamo il principio della riduzione dei termini e il trasporto da un membro all'altro  di un termine con il segno cambiato.
ecco la soluzione

5x+1= 6x-3

aggiungendo -1 e togliendo  6x ad ambo i membri si ha

5x+1-1-6x = 6x-6x-1-3

ed eliminando  i termini opposti  otteniamo

5x-6x = -1-3

quindi  -1x = -4

da cui si ricava   che  x= 4

l'abaco

Un problema costante  per l'uomo  è stato quello a sveltire  i calcoli dapprima fu probabilmente  nell'antica Babilonia che ci si accorse che,  con l'aiuto  di una tavoletta su cui potevano rimanere impressi  dei segni si potevano eseguire in modo più corretto e veloce calcoli altrimenti  troppo complicati e faticosi:
In seguito  ma non si sa con esattezza né dove né come (forse nell'antico Egitto), venne inventato l'abaco  che possiamo considerare la prima macchina calcolatrice costruita dall'uomo.
L'abaco  è stato uno strumento  ingegnoso  che permise di eseguire operazioni sui numeri rappresentandoli con oggetti (es. sassolini, noccioli di frutta  ecc.)  introdotti in bastoncini fissati a un supporto . La radice del termine greco abax, abakos, che significa "tavoletta cospersa di polvere" per tracciarvi  figure  geometriche  e fare calcoli, non è  collegabile con altri figure geometriche e fare calcolo, non  è collegabile con altri vocaboli  della stessa lingua greca antica probabilmente dall'ebraico  abaq, che significa "polvere" e comunque  dai popoli del vicino Oriente.
I matematici  dell'antica Grecia conoscevano le scoperte dei popoli mediterranei  e seppero rielaborarle con apporti originali, ma i loro sforzi non ebbero  un risvolto  pratico.  I progressi da essi compiuti nella matematica non servirono all'organizzazione materiale della società  ma divennero un gioco dell'intelligenza.
E' risaputo a questo proposito , che anche le possibilità offerte dallo sviluppo della scienza e della tecnica non erano orientate a un'applicazione pratica, a un aumento della produttività del lavoro  o alla liberazione dalla fatica del lavoro, ma erano solo espressione della capacità inventiva dell'intelligenza. Lo stesso pregiudizio influenzò anche la matematica.
Dobbiamo perciò ai maggiori algebristi indiani e arabi  molte delle scoperte aritmetiche e algebriche di cui ci serviamo ancor oggi quotidianamente:
Chi introdusse in Italia, e quindi in Occidente, tali scoperte furono i ceti mercantili delle repubbliche marinare. Le  conoscenze matematiche ebbero la loro massima diffusione dopo l'invenzione della carta e della stampae dopo la riforma protestante. Lo stesso  Martin Lutero volle che, accanto alla Bibbia venissero stampati  i primi libri di aritmetica. Gli algebristi  indiani e poi arabi avevano scoperto  i ventagi del sistema numerico posizionale e se ne servirono per semplificare i calcoli con grandi vantaggi  per quelli classi sociali che si servivano dei calcoli per le loro attività mercantili e commerciali. IN particolare furono essi che diffusero l'abaco  nel paesi dell'Occidente.
Ancor oggi questa semplice calcolatrice è usata per fare i conti da russi, cinesi e giapponesi, in bar, negozi, ristoranti  ecc. 
Da noi  i bambini usano un adattamento particolare  dell'abaco, il pallottoliere  come giocattolo  istruttivo per imparare i fondamenti dell'aritmetica divertendosi.
Naturalmente l'abaco  costituito di fani mobili lungo asticelle  non è che un tipo probabilmente inventato dai cinesi: Gli arabi ne inventarono  invece anche di diversa costruzione per esempio uno ancor oggi usato costituito  fondamentalmente  da una specie di griglia.

FIBONACCI

Fra le numerosi questioni  matematiche  e algebriche di cui si occupò Fibonacci  quella delle successioni merita  un particolare cenno.
 Anche perché  su di esse Fibonacci costruì  un interessante problema quello dei conigli
Supponiamo, diceva Fibonacci, diceva di  chiudere in un'apposita gabbia  una coppia di conigli maschio e femmina  in modo che generino altri  conigli supponiamo ancora che i figli raggiungano la maturità sessuale per  generare all'età di due mesi   e che riproducano a loro volta una nuova coppia di conigli maschio e femmina e che anche questi generino  a loro volta  una coppia simile  alla fine di ogni mese successivo.
se nessun coniglio  muore quante coppie di conigli  ci saranno alla fine dell'anno ?

seguiamo la soluzione attraverso un grafico 

Fibonacci diceva che seguendo la coppia iniziale A  del mese di gennaio  in febbraio ci saranno due coppie  A E B  in marzo ci sarà una nuova coppia  C nata dalla A    e le due precedenti
In aprile le cose si complicano  sono trascorsi due mesi  e anche la coppia B comincia a prolificare.
Avremo allora oltre alle tre copie di marzo la D nata dalla A  e la E  nata dalla B.
In maggio  la situazione diventa ancora più complessa  perché anche la C la copia nata in marzo comincia a prolificare 
alle cinque  coppie precedenti  si aggiungono anche la F dalla A  la G nata dalla B e la H nata dalla C
Il ragionamento continua in modo analogo  per il numero di coppie nel mese di giugno  di luglio e così via fino alla fine dell'anno il numero di copie nei mesi considerati Fibonacci lo inscrive in una sequenza

 1,2,3,5,8,13 .....

non è difficile  scorgere tra questi numeri  una legge che ne regola la formazione  dal numero 3 in poi  i successivi  sono dati dalla somma dei due numeri precedenti

1, 2,    3              5                   8            13
      2+1    2+3           3+5             5+8

di questo passo è facile individuare il numero delle coppie  nei mesi successivi a giugno

in luglio              8+13  =21
in agosto            13+21 = 34
in settembre       21+34 = 55

e così via fino a dicembre

alla fine dell'anno ci saranno 233 coppie di conigli 
Evidentemente una volta scoperta la legge di composizione  la successione si può estendere all'infinito
Fibonacci non approfondì  in seguito il problema delle sequenze  di numeri si dovette giungere al XIX secolo perché i matematici  più noti approfondissero  il tema delle successioni  e dele loro proprietà formali.
Uno di qesti un certo Lucas fece studi seri e profondi sulle sequenze (conosciute come serie di Fibonacci)
che iniziano  con due numeri interi qualsiasi  e in cui  la legge di formazione prevede che ogni numero successivo sia la somma dei due precedenti
Le sere di Fibonacci hanno colpito  la fantasia dei matematici  e di appassionati che hanno cercato di scoprirvi proprietà e teoremi nascosti 
recentemente le serie di Fibonacci  hanno rivelato la loro utilità nei moderni metodi di programmazione elettronica soprattutto nella selezione dei dati  nel recupero delle informazioni  e nella generazione di numeri casuali

gioco con i numeri - i numeri perfetti

Chi ha dimestichezza con le proprietà dei numeri può  tentare di risolvere questo gioco.

cercare tre numeri interi e positivi la cui somma risulti uguale al loro prodotto 

una soluzione può essere questa

1X2X3=1+2+3= 6

si noti che i numeri 1,2,3, sono anche divisori di 6 che costituisce la loro somma

si continui il gioco  trovando quei numeri  dopo il 6 che goda della stessa proprietà.
Questi numeri si chiamano  "numeri perfetti"


Fra i matematici  antichi Euclide famoso soprattutto per i suoi Elementi di geometria  e vissuto ad Alessandria d' Egitto  durante il periodo della sua massima attività (306 -283 a.C.)  riuscì a elaborare la folrmula che sintetizzasse la struttura formale dei numeri perfetti

N= 2^n-1*(2)^n  -1

dove il secondo fattore cioè (2)^n  - 1 deve essere un fattore primo cioè divisibile solo per se stesso e 1. quindi bisogna dare a n un valore per cui  (2)^n  -1  è primo

giochi con i numeri - IL RISULTATO è 100

Di certo i numeri servono all'uomo prima di tutto per  risolvere problemi pratici  ma è bello anche pensare che con i numeri può anche  divertirsi.
ecco  uno dei giochi con i numeri assai popolare

si prenda l'insieme delle cifre  1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Il gioco consiste nell'inserire  tra questi numeri  dei simboli di operazioni matematiche  in modo tale che  l'espressione si uguale a 100

qui di seguito una soluzione

1+2+3+4+5+6+7+ (8X9) = 100

chiaramente la posizione dei numeri  deve rimanere tale

noi in questa espressione ci siamo avvalsi della moltiplicazione ma potrebbe essere divertente trovare soluzioni utilizzando solamente addizioni e sottrazioni anche abbinando i numeri  ma senza variare l'ordine 

12+3-4+5+67+8+9= 100

Oppure un altro gioco potrebbe essere quello  di utilizzare i numeri  in ordine decrescente 9,8,7,6,5,4,3,2,1 cercando di utilizzare meno possibile i simboli  simboli + e -

i numeri - un pò di storia

fina dai primi anni di scuola  a tutti è stato insegnato il meccanismo di calcolo  con i numeri interi  le frazioni i numeri negativi ecc.
ma forse pochi si sono chiesti  che cosa sono o cosa rappresentano i numeri ?
In prima approssimazione possiamo dare questa definizione
i numeri sono dei simboli che l'uomo  ha inventato  per molteplici usi forse quello più immediato è contare  gli elementi di vari insiemi di oggetti per esempio  2 pecore 2 sassi
Cioè sono costruzioni mentali  che possono indicare  oggetti materiali senza avere relazione con la qualità  o caratteristiche
Nel corso della storia sono stati adottati  presso i vari popoli  diversi simboli  per rappresentare graficamente  i numeri e le operazioni
per esempio i romani per scrivere 5 usavano il simbolo V
ma la simbolizzazione indo-arabica sostituì quella romana. E ciò grazie a un matematico pisano Fibonacci figlio di un mercante che ebbe nodo seguendo il padre di vedere come contavano gli arabi. Così egli raccolse in un libro  le conoscenze di algebra matematica e geometria.
In occidente tale sistema non venne accolto favorevolmente molti si opposero alla nuova moda. Ma ben presto prese piede perché era economico e semplice
Rese più semplici i concetti di matematica ed era anche più facile scrivere i numeri
rese più chiare per esempio le potenze che con i numeri romani risultavano più complicate da spiegare

LA MOLTIPLICAZIONE CASI PARTICOLARI

Ecco i casi particolari :

• il prodotto di un numero per 10 per 100 per 1000 ecc si ottiene scrivendo  alla sua uno due o tre  zeri

25  x 10  = 250        25 x 100 = 2500   25 x 1000 = 25000

• il prodotto di due o più fattori, uno o più dei quali  termini con degli zeri  si esegue facendo il prodotto dei numeri  senza tener conto degli zeri finali  e facendo poi  seguire il risultato ottenuto  da tanti zeri quanti sono quelli finali che figurano complessivamente nei fattori

40  x 16 = (4x16) x 10 = 64 x10 = 640

• nella moltiplicazione di  un numero per 9  basta scrivere alla destra del numero uno  sero  e dal risultato ottenuto sottrarre il numero stesso 

75  x9 = 75  x (10-1) = 75 x 10 - 75 = 750 -75 = 675

• nella moltiplicazione di  un numero per 11 basta scrivere alla destra del numero uno zero  ed aggiungere  al risultato ottenuto  il numero dato 

si ha infatti 

47  x 11 = 47 x (10 +1) = 47 x 10  + 47 =  470 + 47 = 517

il che si ottiene rapidamente scrivendo la moltiplicazione sotto forma di

47x 11 = 470 + 47 =517

LA PROPRIETA' DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE

sia data da eseguire l'operazione

(7+4+3) x5

dovremo evidentemente fare prima l'addizione e moltiplicare poi il risultato ottenuto per 5 cioè

(7+4+3) x5 = 14x5= 70

ma allo stesso risultato si perviene  nel modo seguente

(7+4+3) x5 = (7x5) + (4x5) + (3x5) = 35+ 20 +15= 70

si ha cioè la seguente proprietà

per moltiplicare una somma indicata per un numero si può moltiplicare  ciascun addendo  della somma per quel numero ed addizionare poi i prodotti così ottenuti 
cioè la proprietà distributiva

allo stesso modo invece di scrivere

(13-6) x 5 = 7x5

oppure

(13-6) x5 = 13 x5 -6x5 = 65-30 = 35

per moltiplicare  una differenza indicata per un numero si può moltiplicare il minuendo  e il sottraendo  per quel numero  e fare poi la differenza fra il primo  ed il secondo dei prodotti così ottenuti

raccoglimento a fattor comune

supponiamo che la somma si a costituita da più prodotti che abbiano un fattore comune  ad esempio

(5x4) + (3x4) + (7x4) =  20+12 +24 = 60

hanno tutti il fattore comune 4

lo stesso risultato si potrà ottenere  raccogliendo  come si dice il 4 a fattor comune  eseguendo l'operazione nel seguente modo 

((5+3+7) x4 = 15 x4 = 60

LA PROPRIETA' DISSOCIATIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE

dato un prodotto

8x45 = 360

se ad uno dei fattori per esempio  a 45 sostituiamo  i due fattori  5 e 9  di cui esso è il prodotto  avremo
8x5x9 = 360

perciò

In un prodotto di più fattori ad uno di essi si possono sostituire due o più altri purchè il loro prodotto sia uguale  al fattore considerato

la proprietà dissociativa  è utile perché facilita il calcolo mentale 
dovendosi moltiplicare i due numeri 35 x16 si opera mentalmente nel modo seguente

35x16 = 35 x2 x8 = 70 x8 = 560

LA PROPRIETA' ASSOCIATIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE

dato un prodotto 

7x5x8 =280

osserviamo che se sostituiamo ai fattori 7 e 5  il loro prodotto 35 avremo

7x5 x8 = 35 x8 = 280

si ha perciò la seguente  proprietà

in un prodotto di tre o più fattori  ad o più di essi si può sostituire il loro prodotto  già eseguito

LA PROPRIETA' COMMUTATIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE

il prodotto di due o piu' fattori non cambia se si muta l'ordine di essi

se ad esempio  è dato il prodotto  :

15 x 3 x4 = 45x4 = 180

4x15x3 = 60 x3 = 180

cioè il prodotto non cambia se cambiamo l'ordine dei fattori

la proprietà commutativa è utile perché ci dà la possibilità di fare la prova della moltiplicazione  infatti l'operazione eseguita è esatta se moltiplicando  i fattori  in ordine diverso dal dato si ottiene lo stesso risultato

Il prodotto di due fattori di cui uno è l'unita è uguale all'altro fattore

1x 5 = 1+1+1+1+1= 5

se invece consideriamo il prodotto 5x1  questo significherebbe la somma di 1 addendo = 5  e non avrebbe senso perché  sappiamo che in una somma gli addendi devono essere almeno due

quindi  5X1 = 5 si può scrivere solo così


il prodotto di due fattori è zero se uno dei fattori è zero

sappiamo che

0x5= 0+0+0+0+0 = 0

5x0 = 0

anche in questo caso è valida la proprietà commutativa 

LA MOLTIPLICAZIONE

prodotto di due numeri 

se si ha  una somma di due  o più numeri uguali  per esempio


9+9+9+9 = 36

si conviene di scrivere tale somma con

9x4= 36

e ciascuna di esse si dice prodotto di 9 per 4  Il numero 9 che è uno degli addendi uguali della somma considerata si dice moltiplicando e il numero 4 che indica il numero degli addendi che si addizionano si dice moltiplicatore entrambi si chiamano fattori del prodotto

si dice  prodotto di un numero  per un altro diverso da 0  o 1  la somma  di tanti addendi uguali al primo tante quante le unità del secondo

si ha  ad es

9x5 = 9+9+9+9+9    5x3= 5+5+5

L'operazione che ci consente di  trovare il prodotto di due numeri si dice moltiplicazione

il prodotto di più fattori

si dice prodotto di più fattori il numero che si ottiene  moltiplicando il primo per il secondo  il risultato ottenuto per il terzo  e così via

7x5x4 = 35 x4 = 140

le proprietà della sottrazione- LA PROPRIETA' INVARIANTIVA

PROPRIETA' INVARIANTIVA

la differenza di due numeri con cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae se possibile
lo stesso numero

infatti data la sottrazione

25 - 13 = 12

se ad entrambi i termini aggiungiamo uno stesso numero  ad es 5  avremo

(25+5) - (13+5)   =  30 -18  = 12

e se togliamo  ad entrambi uno stesso numero  ad es 3 avremo

(25-3) - (13-3) = 22- 10 = 12

per sottrarre da un numero la somma di più altri si può successivamente dal primo sottrarre gli addendi della somma

se ad es si vuole dal numero 56  togliere la somma

12+ 25 = 37

invece di calcolare come abbiamo fatto, tale somma ed  eseguire  poi la sottrazione

56 -37 = 19

si può dal numero dato  togliere successivamente gli addendi della somma  si ha perciò

56 - (12+25) = 56 -12 -25 = 44 -25 = 19

questa proprietà a volte è utile per il calcolo mentale 
dovendo eseguire la sottrazione    144-  68  si scompone mentalmente  68  nella somma (60+ 8)  e si immagina poi l'operazione  

144 - 68 = 144 - (60 +8)  = 144 -60  - 8 = 84 -8 = 76

viceversa

se da un numero  si devono sottrarre successivamente più altri numeri  si può dal primo sottrarre  la loro somma

supponiamo che  dal numero 32  si debbano togliere successivamente  i numeri 8 e 13  avremo

32-8-13 = 32 -(8 +13) = 32 -21 = 11

osservazione alcune volte capiterà di e seguire il calcolo di un'espressione contenente addizioni e sottrazioni  ad es. un'espressione  del seguente tipo

27-15+17-8-2

dovremmo in tal caso eseguire successivamente le seguenti operazioni

27 - 15 = 12      12+7 = 19      19-8 = 11             11-2 = 9

quindi

27-15+7-8-2 = 9

si può invece più rapidamente ottenere il risultato trovato se dalla somma di tutti i numeri  da aggiungere che sono 27 e 7   sottraiamo tutti quelli che sono da togliere  cioè 15     8 e   2
potremo quindi  scrivere

27- 15 +7 -8 -2 = (27+ 7) - (15+8+2) = 34-25= 9

se in un'espressione vi sono  operazione di addizione e sottrazione conviene innanzi tutto eseguire le operazioni tra parentesi  e se vi sono parentesi contenute nelle parentesi  occorre eseguire le operazioni contenute nelle parentesi più interne


sottrazione di grandezze

da una grandezza si può sottrarre un'altra grandezza solo se esse sono della stessa specie  per indicare che da m. 23 si sottraggono m. 15  si scrive

m.23 - m. 8 oppure        m.( 23-15) = m. 8

la differenza di due grandezze omogenee riferite ad una stessa unità di misura è la grandezza avente per misura la differenza delle misure delle grandezze

la sottrazione

cioè differenza di due numeri

si dice  differenza tra un numero ed un altro  che non sia maggiore del primo  un terzo numero che sommato al secondo  dia per somma il primo

perciò la differenza tra  8 e3  che si indica con 8-3  è 5 perché  5+3= 8

risulta dalla definizione che la differenza di due numeri uguali è zero  e che la differenza tra un numero e zero  è il numero stesso

8-8=0              8-0= 8

si dice sottrazione l'operazione per mezzo della quale si determina la differenza tra due numeri  il primo dei quali è il minuendo e il secondo è il sottraendo 

il risultato si chiama differenza  o resto

175        -          84           =      91
minuendo  sottraendo       differenza o resto

1574 -                  prova            626 +
  948 =                                       948 =
  626                                        1574

proprietà del permutare e dell'invertire - matematica

consideriamo la proporzione 

12:4 = 21:7 ;

scambiando  in essa i due medi o i due estremi si ha

12:21 = 4:7      oppure 7:4 = 21 : 12

queste sono due nuove proporzioni  perché entrambe come si può facilmente verificare il prodotto dei medi è uguale a quello dei due estremi  cioè

se in una qualsiasi  proporzione si scambiano  fra loro i due medi o i due estremi  si ha una nuova proporzione

questa operazione  prende il nome di proprietà del permutare

data una proporzione

20:5 = 12:3

se scambiamo  ogni antecedente con il suo conseguente  otteniamo 

5:20 = 3:12

che è una nuova proporzione come risulta evidente verificando  che il prodotto 20 x 3 = 60  dei due medi è uguale al prodotto 5x 12  dei due estremi  cioè

se in una qualsiasi  proporzione si scambia ogni antecedente con il suo conseguente si ha una nuova proporzione

Questa operazione prende i nome di  proprietà dell'invertire

le proporzioni matematiche

definizioni
consideriamo due rapporti uguali  ed esempio

18:3= 6                     e 42:7 = 6

per la proprietà transitiva  dell'uguaglianza si ha :

18:3 =42:7 

Un'uguaglianza di due rapporti  che si legge 18 sta a 3 come 42 sta a 7 prende il nome di proporzione
cioè

una proporzione è l'uguaglianza di due rapporto

i numeri, 3, 18 ,42, 7 si dicono termini della proporzione  il primo e il quarto sono gli estremi  ed il secondo e il terzo sono medi.  Inoltre  il primo e il terzo cioè il 18 e il 42 si dicono antecedenti  ed il secondo e il quarto conseguenti

proprietà delle proporzioni

Dati due qualsiasi rapporti uguali  18/6  = 3         e 12/4 = 3  consideriamo la proporzione 

18:6 = 12 :4  oppure 18/6 =12/4    (1)

e riduciamo le due frazioni  dell'ultima uguaglianza allo stesso denominatore  assumendo come tale  il prodotto  6x4 dei loro denominatori si avrà

18x4/6x4 = 12x6//4x6          18x4/24 =12x6/24

poiché le due frazioni  uguali aventi uguali denominatori  hanno anche i numeratori uguali  dall'ultima uguaglianza  si trae:

18x4=12x6                    (2)

osservate iche il primo membro  della (2) è il prodotto  degli estremi  della data proporzione (1) n e che il secondo membro è il prodotto  degli estremi  si ha dunque una proprietà fondamentale:

In ogni proporzione il prodotto dei medi  è uguale al prodotti degli estremi
 
Viceversa
Quattro numeri in un certo ordine  formano una proporzione se  il prodotto del primo e del quarto  è uguale al prodotto del secondo per il terzo

dati per esempio 4 numeri

9; 3; 15; 5

poiché si ha che  9x5=45    e 3x15 =45

risulta che 9x5=15x5

infatti  il rapporto 9:3= 3 è uguale al rapporto 15:5 = 3

Ne consegue che dati quattro numeri  per assicurarsi se nell'ordine assegnato formano una proporzione occorre verificare se il rapporto del primo al secondo  è uguale al rapporto del terzo al quarto   o se il prodotto  del primo e del quarto  è uguale al prodotto del secondo per il terzo