martedì 4 luglio 2023

la geometria

 La geometria 


La parola geometria deriva dal greco e significa misurazione della terra (da ghe = terra e metron = misura) Il senso etimologico della parola geometria è da ricercarsi nell'origine stessa di questa scienza che nacque, appunto dall'esigenza di popoli antichissimi (Assiri, Babilonesi......) di stabilire rudimentali regole che fornissero la misura dell'estensione delle loro terre.

Nono vi è, però, una testimonianza storica assolutamente certa che confermi l'uso della geometria nelle civiltà pre-egizie.

Possiamo, invece, affermare che gli Egiziani possedevano alcuni elementi di questa materia.

Lo documentano diversi papiri e, in particolare il cosiddetto papiro di Rhid (della lunghezza di circa 20 metri e che si conserva nel British Museum di Londra) nel quale è contenuto il libro di calcolo di Ahmes, così chiamato dal nome dello scriba che, sedici secoli avanti Cristo trascrisse - forse non senza errori - un testo che già aveva alcuni secoli di vita. IN esso sono riportate regole per la misura dei campi quadrangolari e triangolari, nonché elementi di calcolo con le frazioni e accorgimenti pratici per la misura di certi solidi. 

Del resto, notizie sulle conoscenze geometriche degli antichi Egizi chi provengono anche da Erodoto( v secolo a.C.) e da Proclo (IV secolo a.C.). Quest'ultimo che è considerato il più autorevole storico delle antiche matematiche così scrive :Seguendo la tradizione generale diremo che gli Egiziani furono i primi inventori della geometria e che essa nacque dalla misurazione dei campi che essi dovevano sempre rinnovare a causa delle inondazioni del Nilo che cancellavano tutti i confini delle proprietà.

Ci risulta che gli Egiziani conoscevano il teorema di Pitagora sono in un caso particolare e precisamente sapevano che in un triangolo con i lati lunghi 3,4 e 5 volte una certa unità di misura è rettangolo.

Essi usavano questa loro conoscenza per costruire sul terreno con funi e picchetti, un triangolo di tale tipo. In questo modo disegnavano angoli retti che servivano loro come traccia per la costruzione delle fondamenta degli edifici e dei templi. Ciò conferma il pensiero di Proclo, secondo il quale la geometria egiziana aveva solo un carattere pratico ed utilitario.

Solo più tardi, nell'antica Grecia, la geometria si sviluppò come scienza pura e venne studiata in modo autonomo, prescindendo, per lo più dai problemi pratici. I Greci riorganizzarono l'intero edificio geometrico passando, per primi, da una esposizione frammentaria ad trattazione rigorosa. L'opera fondamentale è costruita dagli Elementi di Euclide.  Le chiare e ordinate pagine di questo matematico del III secolo a.C. sono state, per oltre venti secoli, un vero e proprio modello per tutti gli studiosi.

Proprio per la preminente importanza dell'opera di Euclide dividiamo la nostra breve storia della geometria antica in due periodi : 

PRE-UCLIDEO

UCLIDEO

Il periodo pre-uclideo va dal VI al III secolo a.C.; ossia da quando i Greci iniziarono con l'Oriente, e specialmente con l'Egitto, un attivo scambio di commerci e di idee, a quando comparve nel mondo greco la grande figura di Euclide.

E' per questo un periodo di transizione che precede l'inizio della vera e propria geometria razionale. I Greci maturarono, in questi secoli, le nozioni empiriche e sperimentali apprese dagli Egiziani, attraverso un travaglio di ricerca spesso disordinato e frammentario. Il nuovo fermento intellettuale fu guidato da motivi diversi, e, talvolta, contrastanti fra loro: sia di natura religiosa che filosofica, sia dovuti a necessità  pratiche che  a pura curiosità di indagine. Fu, cioè, uno studio nono sempre scientificamente coerente : logica espressione di una civiltà ancora giovane.

Gli storici concordano nell'iniziare questo periodo con Talete (VI secolo a.C.). Egli passò parte della sua giovinezza in Egitto dove si era recato per ragioni commerciali. Ivi assimilò la cultura di quella antica e progredita civiltà e apprese, in particolare, alcune nozioni  geometriche ed astronomiche.

Tornato in patria divenne capo della scuola jonica. Proseguendo nei suoi studi di astronomia, giunse a predire la data di una eclisse di sole. Proprio di quella eclisse che indusse gli eserciti della Media e della Lidia, già schierati a battaglia, a deporre le armi e a iniziare trattative di pace, non volendo essi - per antica tradizione - combattere in assenza della luce del sole. Questa predizione lo rese famoso in tutto il mondo ellenico, così da farlo annoverare fra i sette saggi della Grecia.

La feconda, originale intuizione di Talete si può dedurre da questo episodio che a lui  viene attribuito. Avendogli domandato un sacerdote egizio quale potesse essere l'altezza di un obelisco, egli non si contentò di misurarla ad occhio; si sdraiò sul terreno e vi determinò  la lunghezza della sua persona, poi si pose in piedi alla estremità del segmento cosi tracciato ed attese che la sua ombra divenisse lunga come quel segmento.

Nello stesso momento anche l'altezza dell'obelisco uguagliava la lunghezza della sua ombre e misurando quest'ultima egli ottenne con esattezza l'altezza del monumento.

Sembra anche certo che Talete sia riuscito a determinare la distanza delle navi dal porto mediante semplici confronti di triangoli.

Molti storici attribuiscono a Talete la scoperta e la dimostrazione di alcune proprietà geometriche, come l'uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele e degli angoli opposti al vertice, le condizioni di parallelismo di due rette e l'essere uguale a due angoli retti la somma degli angoli di un triangolo .

Talete scoprì anche che qualsiasi angolo inscritto in un semicerchio (cioè con il vertice sulla semicirconferenza e con i lati passanti per gli angoli estremi del diametro) è un angolo retto. Dante ricorda questo teorema nel paradiso 

O se del mezzo cerchio far si puote

Triangol sì ch'un retto non avesse

Tale proprietà fu poi largamente sfruttata. E' in virtù di essa che in un teatro semi circolare tutti gli spettatori vedono la scena sotto uno stesso angolo.

Il nome Talete è però legato più che alle sue ricerche di geometria al fatto che per primo osò indagare sull'origine fisica dell'universo. Egli fu il primo filosofo dell'umanità.

A Talete seguì Pitagora (V secolo a.C.) suo discepolo. E' certo che Pitagora visitò l'Egitto. Pare che sia stato anche a Babilonia, a Persepoli, per finire in India.

In Egitto apprese tutte le cognizioni di quella antica civiltà  in età avanzata si portò nell'Italia meridionale dove, a Crotone, fondò la scuola Italica, misteriosa setta di carattere scientifico, politico e religioso.

Ecco cosa Proclo dice di lui : Pitagora trasformò lo studio della geometria e ne fece un insegnamento più razionale, risalendo ai principi generali e studiando i teoremi astrattamente, e con pura intelligenza; è a lui che si deve la scoperta dei numeri irrazionali e la costruzione delle figure cosmiche.

Figure cosmiche erano detti anche i cinque poliedri regolari cioè il tetraedro, il cubo o esaedro, l'ottaedro. il dodecaedro e l'icosaedro. Erano chiamate cosmiche perché, secondo l'antica ipotesi cosmologica, gli elementi consisterebbero di particelle piccolissime : tetraedri per il fuoco, ottaedri per l'aria, icosaedri per l'acqua e cubi per l'elemento terra.

Il dodecaedro serviva come modello dell'universo.

Anche oggi  noi distinguiamo le varie sostanze chimiche in base al numero e al tipo di atomi che costituiscono le molecole.

Fu possibile ai pitagorici costruire il dodecaedro regolare con facce pentagonali, perché essi per primi seppero  inscrivere il pentagono regolare in un cerchio. Diviso il cerchio in cinque parti uguali e congiunti i punti di divisione alternativamente, ottennero la stella a cinque punte, che fu simbolo della scuola pitagorica.

La scoperta più importante fu il teorema sul rettangolo rettangolo che porta il suo nome.

Ricordiamo  Socrate (prima metà del IV secolo a.C.) per avere egli insegnato il metodo induttivo atto a sviluppare la facoltà del raziocinio, scopo prime dello studio della geometria.

A Socrate dobbiamo  il principio della definizione, ossia della determinazione dei concetti base di ogni scienza e in particolare della geometria.

Allievo di Socrate fu Platone(IV secolo  a.C.) Figlio di nobile e ricca famiglia ebbe la possibilità di compiere profondi studi ed istruttivi viaggi.

Si portò in Egitto e nella  Magna Grecia, dove frequentò le scuole che fiorivano in quei paesi.

Ritornato in patria, occupò la cattedra nel Ginnasio di Accademio fondandovi la famosa Accademia.

Eudosso da Cnido (prima metà del IV secolo a.C.) costruì una teoria generale delle proporzioni fra grandezze, la quale fu poi riportata negli Elementi di Euclide, costituendo, di quest'opera, una delle parti più interessanti per la sua struttura logica e per il contributo che dette alle successive conquiste della matematica. Egli intuì e propose nuovi metodi di indagine che solo molti secoli dopo trovarono un assetto definitivo. Eudosso, con il suo procedimento, confermò i risultati trovati da Democrito per al determinazione del volume della piramide.

Infine Aristotele (IV secolo a.C.) il più celebre fra i filosofi dell'Accademia il maestro di coloro che sanno come lo definì Dante, vero intelletto enciclopedico,

Contribuì al progresso delle scienze e in particolare della geometria. Fu precettore di Alessandro e fondò la scuola peripatetica.

Il periodo euclideo 

Della vita di Euclide poco si conosce. Si sa che visse intorno  al 300 a.C. e che trascorse buona parte della sua esistenza in Alessandria d'Egitto ove fondò una scuola di matematica una via fatta apposta per i re.

Euclide scrisse i famosi Elementi, opera grandiosa che si compone di tredici libri. In essa le conoscenze geometriche furono esposte per la prima volta, in modo logico  e organico  con una nuova coordinazione dei primi conetti geometrici sistemati secondo uno schema coerenti. Il volume fu uno dei più riprodotti.

Il pensiero matematico moderno ha proposto impostazioni parzialmente difformi da quelle suggerite da Euclide, ma ciò non toglie il valore della sua opera. Sembra anzi incredibile che un testo scientifico sia rimasto valido per oltre duemila anni.

Archimede fu il maggior genio scientifico dell'antichità anche se la sua opera lasciò un'impronta meno profonda di Euclide. Egli espose metodi e teorie che molti secoli dopo, nel Rinascimento dovevano servire da guida agli ulteriori sviluppi della scienza. Armonizzò il culto dell'indagine scientifica pura con la realizzazione di geniali applicazioni pratiche. Il suo nome è legato alla scoperta di importanti leggi della fisica e dell'invenzione di macchine belliche per difendere la sua città dall'assedio dei Romani



giovedì 12 gennaio 2023

matematica - sistemi di equazioni di primo grado

  matematica - sistemi di equazioni di primo grado 


Considerando un'equazione con due incognite come per esempio 


5x - 3y = 9


Se ad una delle incognite, mettiamo alla y, si attribuisce un valore arbitrario, si ottiene un equazione di primo grado nella sola incognita x; risolvendola otteniamo un valore per la x, che assieme al valore assegnato alla y costituisce una soluzione della data equazione.

Quando si danno alla y, successivamente valori diversi, si ottengono per la x altrettanti valori determinati e siccome ciascun valore della y e il corrispondente valore della x costituiscono una soluzione dell'equazione, possiamo affermare che l'equazione stessa ha infinite soluzioni, ed è perciò indeterminata,

Quello che abbiamo detto per la speciale equazione esaminata, lo si può ripetere in ogni caso, cioè 

Una equazione a più incognite ammette, in generale, infinite soluzioni.

Consideriamo ora due equazioni nelle stesse incognite, come per esempio 

5x-2y= 4                  e                         3x+4y = 18

Il problema che ci si pone è quello di riconoscere se fra le infinite soluzioni della prima equazione e le infinite soluzioni della seconda vi è una soluzione comune, cioè se vi è una coppia di valore per x e per y che verifica contemporaneamente le due equazioni. Nel nostro caso questa coppia esiste effettivamente perché è facile constatare che per x=2 e y = 3 ambedue le equazioni sono verificate. 

La questione prospettata può essere posta in generale e cioè 

Date più equazioni nelle stesse incognite, ricercare le eventuali soluzioni comuni ossia ogni sistema di valori delle incognite che trasformano le equazioni in identità 

L'insieme di più equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente si chiama sistema di equazioni  e le equazioni stesse si dicono simultanee.

Ogni equazione comune a tutte le equazioni di un sistema, si dice soluzione del sistema.

Risolvere un sistema di equazioni significa trovarne le eventuali soluzioni. Può darsi che un sistema non ammetta nessuna soluzione  e allora si dice impossibile; se invece ammette delle soluzioni si dice possibile. Un sistema possibile si dice determinato se il numero delle soluzioni  è limitato; si dice indeterminato se il numero delle soluzioni  è infinito.

Due sistemi con le stesse incognite si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni dell'uno sono soluzioni anche dell'altro.

Due sistemi equivalenti ad un terzo sono equivalenti fra loro.

Per risolvere un sistema si cerca di trasformarlo in un altro equivalente del quale si sappia  trovare con facilità le soluzioni e a questo scopo si applicano determinati criteri.

Se alle equazioni di un sistema si sostituiscono equazioni rispettivamente equivalenti si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Le equazioni del sistema, quando faccia comodo, possono essere trasformate in modo che i secondi membri si riducano a zero.

Ogni sistema di equazioni può essere trasformato in un altro equivalente nel quale le equazioni siano tutte intere.

In questo caso si ricordi che nel liberare le equazioni dai denominatori si possono eventualmente introdurre delle soluzioni estranee, che dovranno essere scartate dopo un conveniente esame.


domenica 17 luglio 2022

misure delle grandezze - numeri reali

 misure delle grandezze - numeri reali 


GRANDEZZE COMMENSURABILI ED INCOMMENSURABILI 

 DEFINIZIONE. Un insieme di enti costituisce una classe di grandezze, se per tali enti è possibile definire le relazioni di uguaglianza e disuguaglianza e le operazioni di addizione e di sottrazione, in modo che queste relazioni e queste operazioni godano delle solite  proprietà formali  

Sono grandezze geometriche : i segmenti, gli angoli, le superfici dei poligoni ecc.

Si dicono grandezze omogenee quelle appartenenti alla stessa classe.

PROPRIETA' DELLE GRANDEZZE

a) date due grandezze omogenee A e B esiste una ed una sola delle tre relazioni  :

A = B     oppure         A > B     oppure  A < B

 e ciascun caso  esclude gli altri due;

b) l'uguaglianza gode delle proprietà riflessiva  simmetrica e tansitiva 

A=A     se A=B   è anche   B = A  

se A = C e C = B  è anche  A=B

c) per la disuguaglianza vale la sola proprietà transitiva 

se A>B e B>C  allora  A>C

d) l'addizione  gode delle proprietà commutativa associativa e dissociativa 

A+B = B+A    (A+B)+ C = A+ (B+C)

e) somme e differenze di grandezze uguali sono uguali 

se A= A'    e B = B'  è anche A+B = A'+B' 

e se è A >A' e B> B'  con A= B e A' = B' allora  A - A' = B- B';

f) se A>B  e A' > B'  allora  A+B  > A'+B' 

e se  A>A'  e B>B'  con A>B e B<B'  allora A-A' >B-B'

Vogliamo confrontare le due grandezze A e B i casi possibili sono tre :


1° caso 

La grandezza A contiene m volte esattamente B 

IN tale caso la grandezza A è uguale alla somma di m grandezze tutte uguali a B cioè 

A= B'+ B"......+ B m volte = m x B

La grandezza A sara dunque multipla di B secondo il numero m e il simbolo  B= 1/m x A

significa che  la grandezza  B è sottomultipla o parte aliquota di A secondo m

L'intuizione  ci conduce ad ammettere i seguenti postulati  :

a) postulato della divisibilità. Data una qualsiasi grandezza A, esiste  ed è unica la sua n-esima parte, cioè 1/n x A

b) Postulato  di Eudosso-Archimede . Date due qualsiasi grandezze omogenee disuguali A e B esiste sempre un multiplo  della minore che supera la maggiore 

Così se A >B esisterà certamente un multiplo mB della minore B che superi A  tale cioè che mB>A

2° caso  La grandezza A contiene soltanto m volte esattamente un ennesimo della grandezza B.

In tale caso la grandezza A è uguale alla somma di m grandezze tutte uguali  ad una della tante parti in cui è stata suddivisa la grandezza B secondo il numero n cioè uguale ad m grandezze uguali a B/n.

e si dice che la grandezza A è multipla secondo il numero m della sottomultipla di B secondo il numero n.

3° La grandezza A non contiene un numero esatto di vote nè la grandezza B ne alcuna delle sue parti aliquote di essa.

In quest'ultimo  caso la grandezza A non può dirsi  somma nè m addendi  tutti uguali a B nè di m addendi tutti uguali a B/n.

Nel 1° caso  si potrà scrivere A/B= m e si dice che il rapporto tra le grandezze A e B è il numero intero m.

Nel 2° caso  si potrà scrivere che A/B = m/n e si dice che il rapporto tra le grandezze  A e B è il numero frazionario m/n 

Nel 3° caso  non esiste alcun numero intero o frazionario (n razionale) che è uguale al rapporto tra le grandezze A e B 

Si conclude che quando confrontando le due grandezze A e B  si verifica il 1° caso e il 2° caso, le due grandezze si dicono  commensurabili e che quando si verifica il 3° casso si dicono incommensurabili.

Die grandesse omogenee A e B si dicono commensurabili quando ammettono una multipla comune, cioè quando esistono due numeri interi m, n tali che si abbiam n x A= m x  

Considerando  invece i sottomultipli dei due membri dell'uguaglianza si ha : 

A/m = B/n

e si dice : se due grandezze hanno una multipla comune, esser hanno anche una summultipla comune 

DEFINIZIONE. Due grandezze omogenee  A e B si dicono incommensurabili  qunado non ammettono alcuna multipla e quindi alcuna sottomultipla comune.

esempi di coppie di grandezze incommensurabili  sono 

1) il lato  e la diagonale di un quadrato 

2) il lato e l'altezza di un triangolo equilatero 


                                                                                                                                


giovedì 10 febbraio 2022

radice quadrata

radice quadrata 

un quadrato che ha il lato di 3 cm si può comporre in 9 cm ciascuno dei quali è un centimetro quadrato quindi la sua superficie è di centimetri quadrati 

9 cioè 3^2






l'area del quadrato si ottiene elevando al quadrato la misura del lato risolvendo il problema inverso cioè determinare il lato se abbiamo l'area.

esempio se l'area del quadrato è di cm 49 risulta evidente che il suo lato misura 7 cm infatti elevato al quadrato dà 49.

Quindi diciamo che 7 è la radice quadrata di 49     √49 = 7 

La radice quadrata di un numero che si a un quadrato perfetto è quel numero che elevato al quadrato di il numero dato.

così  √36 = 6  perché 6^2=36

L'operazione mediante la quale si trova la radice quadrata di un numero si dice estrazione di radice quadrata, essa è l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato e consente, come si è visto, di determinare la base del quadrato di un numero conoscendo il valore di tale potenza.

Se il numero è un quadrato perfetto  di un numero intero la sua radice quadrata sarà un numero intero.

Se il numero non è un quadrato perfetto non esisterà alcun numero intero che elevato al quadrato dia come  risultato quel numero.

esempio 

    √7 sarà un numero compreso tra 2 e 3